Zadanie nr 5094498

Rzucamy razy monetą symetryczną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie nieparzystą liczbę razy?

Rozwiązanie

Liczba orłów może być parzysta lub nieparzysta, czyli prawdopodobieństwo wynosi . Brzmi naiwnie? – z pewnością tak, ale jak się okaże jest w tym dużo prawdy.

Sposób I

Jeżeli myślimy o wynikach doświadczenia jak o ciągach długości , to mamy

|Ω | = 2n.

Ile jest zdarzeń sprzyjających? – na pierwszych n− 1 monetach może być cokolwiek, a na –tej monecie nie mamy już wyboru (w zależności od ilości orłów na poprzednich musi być na niej orzeł lub reszka). Zatem prawdopodobieństwo wynosi.

n− 1 2----= 1-. 2n 2

Sposób II

Możemy sobie myśleć, że mamy schemat Bernoullego. Powiedzmy, że sukcesem nazywamy wyrzucenie orła. Pytamy jakie jest prawdpodobieństwo otrzymania nieparzystej liczby sukcesów. Liczymy

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n 1- 1- n− 1 n 1- 3 1- n−3 P 1 + P 3 + P 5 + ⋅⋅ ⋅ = 1 2 2 + 3 2 2 + ⋅⋅⋅ = ( ) ( )n ( ) ( )n = n 1- + n 1- + ⋅⋅⋅ = 1 2 3 2 ( )n ( ( ) ( ) ) = 1- n + n + ⋅⋅⋅ . 2 1 3

Aby obliczyć sumę w nawiasie korzystamy z dwumianu Newtona

( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n 2 = (1+ 1) = + + + ⋅⋅⋅+ ( 0) ( 1) ( 2) ( ) n ( ) n n n n n n 0 = (1− 1) = 0 − 1 + 2 − 3 + ⋅ ⋅⋅± n .

Pierwsza równość mówi, że suma wszystkich symboli Newtona (n) k z ustalonym jest równa n 2 , a druga, że suma tych z parzystym jest taka sama jak suma tych z nieparzystym . Zatem intersująca nas suma jest równa

( ) ( ) n n + n + ⋅⋅⋅ = 2--= 2n− 1. 1 3 2

Prawdopodobieństwo wynosi

1 1 P = --n ⋅ 2n−1 =--. 2 2

Sposób III

Jeżeli wiemy jaki jest wynik, to możemy prawdopodobieństwo wyliczyć indukcyjnie. Dla n = 1 sprawa jest jasna. Powiedzmy teraz, że rzucamy n + 1 monetami i wiemy, że nieparzysta liczba orłów na pierwszych monetach pojawia się z prawdopodobieństwem 1 2 . Zatem z tym samym prawdopodobieństwem pojawia się parzysta liczba orłów. Zakładając którąkolwiek z tych sytuacji, mamy 50% szans na to, że będzie nieparzysta liczba orłów (na n + 1 monecie musi być reszka lub orzeł odpowiednio). Zatem ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite mamy