Zadanie nr 6429332

Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na tysiąc, daje fałszywą pozytywną odpowiedź w 5% przypadków (u osoby chorej daje zawsze odpowiedź pozytywną). Jaka jest szansa, że osoba, u której test dał odpowiedź pozytywną, jest faktycznie chora?

Rozwiązanie

Sposób I

Powiedzmy, że badamy osób. Spośród nich 1n000- jest chorych. Zatem jest

n − -n---= 999n- 1000 1000

zdrowych i test wykaże wśród nich

5% ⋅ 999n 1000

osób chorych. Zatem test daje pozytywną odpowiedź dla

n 999n ----- + 5% ⋅ ----- 10 00 1000

osób. Spośród nich chorych jest --n- 1000 co daje nam prawdopodobieństwo

--n- 1 1 20 P = --n---1000--999n = -------------- = ------ = -----≈ 0,02. 1000 + 5% ⋅1000 1 + 0,0 5⋅99 9 5 0,95 1019

Sposób II

O zadaniu można też myśleć jak o prawdopodobieństwie warunkowym P(A |B) , gdzie jest zdarzeniem, że osoba jest chora, a jest zdarzeniem, że test dał pozytywny wynik. Mamy