/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 6435035

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na stole stoją dwa identyczne koszyki, w których znajduje się po 15 jednakowej wielkości piłeczek. Piłeczki są w kolorze żółtym i czerwonym. W obu koszykach liczba piłeczek żółtych jest taka sama. Z każdego koszyka losujemy jedną piłeczkę. Ile powinno być w każdym koszyku żółtych piłeczek, aby prawdopodobieństwo wylosowania piłeczek różnych kolorów było największe?

Rozwiązanie

Powiedzmy, że w każdym z koszyków jest n żółtych piłeczek, czyli piłeczek czerwonych jest 15 − n .

Z zdarzenia elementarne przyjmijmy pary wylosowanych piłeczek, czyli

|Ω | = 15 2.

Zdarzenia sprzyjające są dwóch rodzajów: albo z pierwszego koszyka wylosowaliśmy piłeczkę żółtą, a z drugiego czerwoną, albo na odwrót. W sumie jest więc

n(15 − n) + (15 − n)n = 2n(1 5− n ).

Pytanie brzmi: dla jakiego n liczba ta będzie największa? Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w dół i miejscach zerowych n = 0 i n = 15 . Zatem największą wartość przyjmuje w wierzchołku, czyli dla 15 n = 2 = 7,5 . Ponieważ liczba piłeczek musi być liczbą naturalną, największą wartość prawdopodobieństwa otrzymamy dla n = 7 lub n = 8 piłeczek. Można łatwo sprawdzić, że obu przypadkach otrzymamy takie samo prawdopodobieństwo (bo obie liczby są o tyle samo odległe od wierzchołka paraboli).  
Odpowiedź: 7 lub 8

Wersja PDF