Zadanie nr 7113835

Ze zbioru {1,2,...,10} losujemy kolejno 3 liczby (mogą się powtarzać). Wyznacz prawdopodobieństwo wyboru takiej trójki (x ,y ,z) liczb, dla której x + y < z .

Rozwiązanie

Sposób I

Możliwości wylosowania trzech liczb jest

3 |Ω | = 10 .

Policzmy ile jest zdarzeń sprzyjających.

(1,1,3) (1,1,4),(1,2,4),(2,1 ,4 ) (1,1,5),(1,2,5),(2,1 ,5 ),(1,3,5),(3,1,5),(2,2,5) (1,1,6),(1,2,6),(2,1 ,6 ),(1,3,6),(3,1,6),(2,2,6),(1,4 ,6 )&#

i tak dalej – wypisywanie zaczyna już być niewygodne, więc spróbujmy to zrobić trochę mądrzej. Zauważmy, że jak trójka (x,y,z) jest dobra to trójka (x,y ,z′) też jest dobra dla z′ > z . Spróbujemy więc teraz wypisać tylko te trójki (x,y,z ) dla których trójka (x,y,z− 1) jest zła – wypisujemy tylko nowe pary (x ,y,⋅) .

(1,1,3) (1,2,4),(2,1,4) (1,3,5),(3,1,5),(2,2 ,5 ) (1,4,6),(4,1,6),(2,3 ,6 ),(3,2,6) (1,5,7),(5,1,7),(2,4 ,7 ),(4,2,7),(3,3,7) (1,6,8),(6,1,8),(2,5 ,8 ),(5,2,8),(3,4,8),(4,3,8) (1,7,9),(7,1,9),(2,6 ,9 ),(6,2,9),(3,5,9),(5,3,9),(4,4 ,9 ) (1,8,10),(8,1,1 0),(2,7,10),(7,2,10),(3 ,6 ,10),(6,3,10),(&#

Innymi słowy, jeżeli jest liczbą trójek takich, że x + y = k to nk = k − 1 . Ile jest zdarzeń sprzyjających? Dla ustalonego jest ich n + ⋅⋅⋅+ n 2 z−1 , czyli w sumie mamy

n + (n + n )+ (n + n + n )+ ⋅⋅⋅+ (n + ⋅⋅⋅ + n ) = 2 2 3 2 3 4 2 9 = 8n 2 + 7n3 + 6n4 + 5n5 + 4n 6 + 3n 7 + 2n8 + n9 = = 8 + 7 ⋅2 + 6 ⋅3+ 5⋅4 + 4 ⋅5 + 3 ⋅6+ 2⋅7 + 8 = 120.

Zatem prawdopodobieństwo wynosi

12 0 3 P = -----= --. 1000 25

Sposób II

Mądrzejsi o rachunki z poprzedniego podpunktu, możemy obyć się bez wypisywania zdarzeń. Jak poprzednio oznaczmy przez liczbę par (x,y) o sumie . Ponieważ możemy wybrać na k− 1 sposobów, a jest jednoznacznie wyznaczony przez , mamy nk = k − 1 . Ile jest zdarzeń sprzyjających (x,y,z) , w których x+ y = k ? – jest ich 10 − k , bo na tyle sposobów można dobrać . Razem mamy zatem (biorąc k = 2,...,9 )