Zadanie nr 7861512

Ze zbioru {−n ,− (n − 1),...,− 1,0,1,...,n − 1 ,n } , gdzie n ≥ 1 losujemy dwie liczby (mogą się powtarzać). Oblicz jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wartości bezwzględnych wylosowanych liczb jest nie większa niż .

Rozwiązanie

Ponieważ losujemy ze zwracaniem wygodnie będzie nam myśleć o parach (a,b) . W podanym zbiorze jest 2n + 1 liczb, więc

|Ω | = (2n+ 1)⋅ (2n + 1) = (2n + 1)2.

Pozostało teraz policzyć ile jest par (a,b) spełniających podany warunek.

Sposób I

Policzmy ile jest takich par, patrząc na kolejne możliwe wartości .
Jeżeli a = ±n to musi być b = 0 , czyli mamy dwie pary.
Jeżeli a = ±(n − 1) to musi być b = 0 lub b = ± 1 (bo suma wartości bezwzględnych ma być nie większa od ), czyli mamy sześć takich par (mamy 2 możliwości wyboru znaku na pierwszej współrzędnej i 3 możliwości wyboru drugiej współrzędnej).
Jeżeli a = ±(n − 2) to musi być b = 0,± 1,± 2 . Daje to nam 10 par.
Jeżeli a = ±(n − 3) to musi być b = 0,± 1,± 2,± 3 . Daje nam to

2 + 2 ⋅6 = 14

możliwości (najpierw liczymy pary z zerem, potem wybieramy znak przy pierwszej współrzędnej i wybieramy drugą liczbę).

Powinno być już widać co jest grane, ale sprawdźmy ogólnie dla a = ±(n − k) .

Jeżeli k < n , to może być jedną z liczb 0,± 1,...,±k . Daje nam to

2+ 2⋅ 2k = 2 + 4k

możliwości (pierwsza dwójka to pary z zerem, dalej mamy wybór znaku przy i możliwości wyboru ).

Popatrzmy jeszcze osobno co się dzieje dla k = n . Wtedy a = 0 i jest dowolną liczbą z danego zbioru, więc jest 2n + 1 takich par.

W sumie mamy więc

2+ 6+ 10+ 14+ ⋅⋅⋅+ (2 + 4 (n− 1))+ 2n+ 1 = 2-+-(2-+-4(n-−-1))- = 2 ⋅n + 2n + 1 = (1+ 1+ 2n − 2)n + 2n + 1 = 2 2 = 2n + 2n + 1 = 2n + 2n + 1

zdarzeń sprzyjających. Po drodze skorzystaliśmy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego.

Szukane prawdopodobieństwo jest więc równe

2n2 + 2n + 1 P = ----------2--. (2n + 1)

Sposób II

Największy problem w powyższym rachunku to zabawa z możliwymi znakami wylosowanych liczb. Można jednak łatwo się tego problemu pozbyć, jeżeli będziemy liczyć trochę sprytniej. Pomysł jest taki, żeby policzyć pary z dodatnimi liczbami, a potem uwzględnić możliwe wybory znaków. Aby się nie pogubić rozważmy niektóre sytuacje osobno.

Jest jedna para z dwoma zerami: (0,0) .

Jeżeli dokładnie jedna z liczb lub jest zero, to drugą liczbę możemy wybrać na sposobów (nie może być 0!). Musimy jednak tę liczbę możliwości pomnożyć przez 2, co odpowiada wyborowi, która współrzędna ma być równa 0. W sumie jest więc par z jednym zerem.

Całą resztę jest już dość łatwo policzyć. Będziemy liczyć pary (a,b) gdzie a ,b > 0 , a potem wynik przemnożymy przez 4 (co odpowiada możliwym zmianom znaków). Liczbę możemy wybrać na sposobów (od 1 do ). Przy ustalonej liczbie , liczba może być jedną z liczb 1,2,3 ,⋅⋅⋅,n − a .