/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 8031050

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Z pudełka, w którym jest 13 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 13, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sumą numerów równą 14.

Rozwiązanie

Wszystkich zdarzeń elementarnych jest

( 13) 13⋅1 2⋅11 ⋅10 ⋅9 13 ⋅12 ⋅11⋅ 10⋅9 = -----------------= -----------------= 13 ⋅11 ⋅9. 5 5! 2⋅3 ⋅4 ⋅5

Wypiszmy wszystkie pary różnych liczb, które w sumie dają 14.

(1 ,1 3),(2,12),(3,11),(4,1 0),(5,9),(6,8).

Jest jeszcze liczba 7, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).

Sposób I

O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.

Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje 13 − 2 = 11 liczb i z nich musimy wybrać jeszcze trzy. Trzy pozostałe liczby możemy wybrać na

( ) 11 11⋅ 10⋅9 3 = --2-⋅3---= 165

sposobów. Część z tych trójek będzie jednak zła – obliczmy ile takich jest. W ’złej trójce’ musi być para liczb z sumą 14 (którą już teraz możemy wybrać tylko na 5 sposobów!) oraz jedna dodatkowa liczba. Jest więc

5⋅ (1 3− 4) = 45

takich trójek. W takim razie wybraną na początku parę można uzupełnić do piątki na

1 65− 45 = 120

sposobów. W sumie jest więc

6⋅ 120

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe

-6-⋅120-- = -2⋅-40-= -80-. 13 ⋅11⋅ 9 13 ⋅11 143

Sposób II

O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.

Jedną parę możemy wybrać na 6 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 7, albo nie.

Jeżeli jest 7 wśród wylosowanych liczb to pozostałe dwie liczby wybieramy następująco: wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby – możemy to zrobić na

( ) 5 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2

sposobów. Gdy te pary są już wybrane, to z każdej pary wybieramy jedną z dwóch liczb. Jest więc

6 ⋅10 ⋅2⋅ 2 = 6 ⋅10⋅ 4

takich układów.

Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 7, to liczymy podobnie, najpierw wybieramy trzy pary, z których będą pochodzić pozostałe 3 liczby, a potem z każdej pary wybieramy jedną liczbę. Można to zrobić na

(5) 5⋅4 ⋅3 6⋅ ⋅2⋅ 2⋅2 = 6⋅ -------⋅8 = 6 ⋅10 ⋅8 3 2 ⋅3

sposobów.

Prawdopodobieństwo jest więc równe

6 ⋅10 ⋅4 + 6 ⋅10 ⋅8 8 0(3+ 6) 80 ------------------- = ---------- = ----. 13 ⋅11 ⋅9 13⋅ 11⋅9 1 43

Sposób III

Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia A , obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A ′ . Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarzeniu ′ A : albo nie ma żadnej pary z sumą równą 14, albo takie pary są dwie.

Łatwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 14 – wybieramy dwie pary spośród 6 par z sumą równą 14, a potem dobieramy 5-tą liczbę dowolnie spośród 13− 4 = 9 pozostałych liczb. Jest więc

( ) 6 6⋅ 5 ⋅9 = ----⋅ 9 = 15 ⋅9 2 2

zdarzeń tego typu.

Jeżeli natomiast nie ma żadnej pary liczb z sumą równą 14, to każda z liczb musi pochodzić z innej z wypisanych par, lub może być też 7-ką.

Jeżeli wśród wybranych liczb jest 7, to aby wybrać pozostałe cztery liczby wybieramy 4 pary, z których będą pochodzić. Możemy to zrobić na

( ) 6 = 6-⋅5-⋅4-⋅3 = 15 4 2⋅ 3⋅4

sposobów. Ponadto w każdej z 4 wybranych par możemy wybrać jedną z dwóch liczb. Jest więc

15⋅ 2⋅2 ⋅2 ⋅2 = 15 ⋅16

takich par.

Jeżeli wreszcie wśród wybranych liczb nie ma 7-ki, to liczby pochodzą z 5 różnych par, które możemy wybrać na

(6) 6⋅5 ⋅4 ⋅3⋅ 2 = -------------= 6 5 2 ⋅3⋅ 4⋅5

sposobów. W każdej parze mamy możliwość wyboru jednej z 2 liczb. Jest więc

6 ⋅2 ⋅2⋅ 2⋅2 ⋅2 = 6 ⋅32

takich zdarzeń.

Prawdopodobieństwo jest więc równe.

′ 15-⋅9+--15⋅-16+--6⋅3-2 P (A ) = 1− P(A ) = 1− 13 ⋅11 ⋅9 = 5⋅ 9+ 5⋅16 + 2 ⋅32 189 = 1− --------------------= 1− --------- = 13 ⋅11 ⋅3 13 ⋅11 ⋅3 = 1− --63---= 1 − 63--= 80-. 13 ⋅11 143 143

 
Odpowiedź: 18403

Wersja PDF