Zadanie nr 9105618

Rzucamy sześcienną kostką do gry tak długo, aż otrzymamy co najmniej dwie nieparzyste liczby oczek, albo 10 parzystych liczb oczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że w przeprowadzonym doświadczeniu otrzymaliśmy liczbę oczek równą 5, przy założeniu, że otrzymaliśmy tylko jedną nieparzystą liczbę oczek.

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro wiemy, że wyrzuciliśmy tylko jedną nieparzystą liczbę oczek, to z podanego opisu wynika, że musieliśmy rzucać kostką 11 razy i wszystkie pozostałe rzuty dały parzyste liczby oczek. Jest więc

10⋅3 ⋅3 ⋅...⋅3 = 10⋅3 11

zdarzeń elementarnych (najpierw wybieramy w którym rzucie ma być liczba nieparzysta (nie może być w ostatnim) i w każdym rzucie mamy do wyboru jedną z trzech liczb – w jednym musi to być liczba nieparzysta, a w pozostałych parzyste).

Zdarzeń sprzyjających jest

10 10 ⋅3⋅⋅ ⋅⋅⋅3 = 10 ⋅3

(wybieramy, w którym rzucie ma być liczba 5, a w którym z pozostałych otrzymujemy liczbę parzystą),

Prawdopodobieństwo jest więc równe

10-⋅310 1- 10 ⋅311 = 3 .

Sposób II

Wiemy, że została wylosowana dokładnie jedna liczba nieparzysta i musi to być jedna z liczb: 1, 3 lub 5. Ponieważ żadna z tych liczb nie jest w żaden sposób wyróżniona, jest dokładnie tyle samo zdarzeń, w których wylosowana jest każda z tych liczb. Prawdopodobieństwo jest więc równe 1 3 .

Sposób III

Tym skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe – niech oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu piątki, a zdarzenie polegające na wyrzuceniu dokładnie jednej liczby nieparzystej.

Ponieważ będziemy liczyć iloraz prawdopodobieństw (ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe), nie jest nam potrzebna znajomość liczby zdarzeń elementarnych – powiedzmy, że jest ich .

Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu jest

11 10⋅3 ⋅3 ⋅...⋅3 = 10⋅3

(najpierw wybieramy, w którym rzucie ma być liczba nieparzysta (nie może być w ostatnim ) i w każdym rzucie mamy do wyboru jedną z trzech liczb – w jednym musi to być liczba nieparzysta, a w pozostałych parzyste).

Zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A ∩ B jest