Zadanie nr 9206513

Spośród wyrazów skończonego ciągu arytmetycznego (an) danego wzorem an = 5n + 8 , gdzie n = 1,2,...,15 wybieramy losowo 3. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn wybranych liczb jest podzielny przez 3.

Rozwiązanie

Losujemy ze zbioru mającego 15 elementów, czyli

(1 5) 15 ⋅14 ⋅13 |Ω | = = -----------= 5 ⋅7 ⋅13. 3 2 ⋅3

Zanim policzymy ile jest zdarzeń sprzyjających, sprawdźmy ile wyrazów podanego ciągu dzieli się przez 3. Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów

13,18,23,2 8,33,38,43,48 ,...

Zaczyna być widać, że co trzeci wyraz ciągu jest podzielny przez 3. Jeżeli ktoś jest pracowity to może wypisać 15 wyrazów ciągu i sprawdzić, że tak jest (i jednocześnie policzyć ile ich jest). Zamiast tego możemy też zauważyć, że jeżeli dzieli się przez 3, czyli n = 3k dla pewnego k ∈ C , to

an = 5n + 8 = 15k + 8

nie jest podzielne przez 3. Jeżeli n = 3k + 1 dla pewnego k ∈ C (czyli daje resztę 1 z dzielenia przez 3) to

an = 5n + 8 = 5(3k + 1) + 8 = 1 5k+ 13

i ponownie otrzymujemy liczbę, która nie jest podzielna przez 3. Jeżeli w końcu n = 3k+ 2 dla pewnego k ∈ C ( daje resztę 2 z dzielenia przez 3) to

an = 5(3k + 2) + 8 = 1 5k+ 18 = 3(5k + 6)

jest liczbą podzielną przez 3.

W takim razie wyrazy ciągu (an) , które dzielą się przez 3 to

a2,a5,a8,a11,a14.

Jak widać jest ich 5.

Sposób I

Zamiast liczyć prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu podzielnego przez 3, policzmy prawdopodobieństwo ′ p otrzymania iloczyny, który nie dzieli się przez 3. W takim zdarzeniu żadna z wylosowanych liczb nie może dzielić się przez 3, czyli jest

( ) 10 = 10-⋅9-⋅8 = 5⋅3 ⋅8. 3 3!

Mamy więc

p′ = -5-⋅3⋅8- = 3-⋅8--= 2-4 5 ⋅7 ⋅13 7⋅ 13 9 1

oraz

′ 24 67 p = 1 − p = 1 − 91-= 91-.

Sposób II

Liczymy liczbę zdarzeń sprzyjających. Są one trzech rodzajów:
– wszystkie trzy wylosowane liczby są podzielne przez 3, jest

( ) 5 5⋅-4⋅3- 3 = 2 ⋅3 = 10

tego typu zdarzeń;
– dwie spośród wylosowanych liczb są podzielne przez 3, jest

(5 ) 5⋅4 ⋅10 = ----⋅10 = 100 2 2

takich zdarzeń (do dwóch liczb podzielnych przez 3 dobieramy jedną, która nie jest podzielna);
– dokładnie jedna z wylosowanych liczb dzieli się przez 3, jest