Zadanie nr 9272780

Rzucono dziesięć razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że już w pierwszym rzucie wypadła szóstka, jeśli w ogóle wypadły trzy szóstki.

Rozwiązanie

Sposób I

To co mamy policzyć to prawdopodobieństwo warunkowe

P (A ∩ B ) P (A |B ) = ----------, P(B )

gdzie jest zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu 6 za pierwszym razem, a zdarzeniem polegającym na wyrzuceniu 3 szóstek w 10 rzutach.

Możemy myśleć, że mamy schemat Bernoulliego, gdzie za sukces przyjmujemy wyrzucenie szóstki (czyli prawdopodobieństwo sukcesu jest równe p = 16 ). Prawdopodobieństwo otrzymania 3 sukcesów w 10 próbach jest równe

( ) 10 3 7 10-⋅9-⋅8 -1- 57- 15-⋅8⋅-57 P (B) = 3 p (1− p) = 2 ⋅3 ⋅63 ⋅67 = 610 .

Obliczymy teraz P (A ∩ B) , czyli prawdopodobieństwo 3 szóstek w 10 rzutach, przy czym jedna z nich jest na pierwszym miejscu. Szóstka na pierwszym miejscu pojawia się z prawdopodobieństwem 1 6 , a prawdopodobieństwo otrzymania 2 szóstek w pozostałych 9 rzutach liczymy ze schematu Bernoulliego.

1 ( 9) 1 57 9⋅8 57 9 ⋅4 ⋅57 P (A ∩ B ) = --⋅ ---⋅---= ----⋅ ---= --------. 6 2 62 67 2 610 610

Zatem szukane prawdopodobieństwo wynosi

7 P-(A-∩-B-) -9⋅46⋅150- 9-⋅4-- -3- P (A |B ) = P(B ) = 15⋅8⋅57-= 15⋅ 8 = 1 0. 610

Sposób II

Przyjmijmy za zdarzenia elementarne ciągi otrzymanych liczb oczek, przy czym od razu zakładamy, że wśród otrzymanych wyników są dokładnie 3 szóstki. Obliczmy ile jest takich ciągów: pozycje 6-tek możemy wybrać na