Zadanie nr 9748129

Z szuﬂady, w której znajduje się 10 różnych par rękawiczek wybieramy losowo cztery rękawiczki. Opisz zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, a następnie oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:
A – wśród wylosowanych rękawiczek nie będzie pary,
B – wśród wylosowanych rękawiczek będzie dokładnie jedna para.

Rozwiązanie

Sposób I

Przyjmijmy, że zdarzenia elementarne to wybory nieuporządkowane czterech rękawiczek. W takiej sytuacji

( ) |Ω | = 20 = 20-⋅19-⋅18-⋅17 = 5 ⋅19 ⋅3 ⋅17. 4 1 ⋅2 ⋅3⋅ 4

Zdarzenia sprzyjające do , to takie, w których każda z wybranych rękawiczek jest z innej pary. Takich zdarzeń sprzyjających jest

( ) 10 4 10⋅-9⋅8-⋅7- 4 4 ⋅2 = 1 ⋅2 ⋅3⋅ 4 ⋅2 = 1 0⋅3 ⋅7 ⋅16

(najpierw wybieramy z którch par mają pochodzić rękawiczki, a w każdej parze mamy dwie możliwości wyboru rękawiczki). Zatem

10 ⋅3 ⋅7⋅ 16 2 ⋅7 ⋅16 224 P (A ) = ------------ = -------- = ---- 5 ⋅19 ⋅3⋅ 17 19 ⋅17 323

Zdarzenia sprzyjające do , to takie, w których mamy jedną parę i dwie rękawiczki z różnych par. Mamy zatem

( 10) ( 9) 9⋅ 8 ⋅ ⋅2 2 = 10⋅ ----⋅ 4 = 10 ⋅9⋅ 8⋅2. 1 2 2

takich możliwości (wybieramy jedną parę, potem z pozostałych dwie pary i w każdej z tych dwóch par mamy dwie możliwości wyboru rękawiczki). Mamy zatem

-10⋅-9⋅8-⋅2- 2-⋅3-⋅8-⋅2 -96- P(B ) = 5 ⋅19 ⋅3⋅ 17 = 19 ⋅17 = 3 23

Prawdopodobieństwo P (B) mogliśmy policzyć trochę prościej, licząc prawdopodobieństwo P (B′) zdarzenia przeciwnego. Zdarzenie składa się z dwóch możliwości: że nie ma żadnej pary lub, że są dwie pary. Pierwsze ze zdarzeń to zdarzenie , a prawdopodbieństwo P(C ) drugiego to

(102) ----5-⋅9---- --3---- -3-- P(C ) = |Ω | = 5 ⋅19 ⋅3 ⋅17 = 19 ⋅17 = 323

(wybieramy dwie pary z 10). Zatem

′ 224 3 96 P (B) = 1 − P (B ) = 1 − P (A) − P (C) = 1 − 323-− 32-3 = 3-23.

Sposób II

Tym razem za zdarzenia elementarne przyjmijmy uporządkowane czwórki rękawiczek. Mamy zatem

|Ω | = 20 ⋅19 ⋅18 ⋅17

(pierwszą rękawiczkę możemy wybrać na 20 sposobów, drugą na 19 itd.). W zdarzeniach sprzyjających , po wybraniu rękawiczki z jakiejś pary, nie możemy już wybrać drugiej rękawiczki z tej pary, jest zatem

20 ⋅18 ⋅16⋅ 14

zdarzeń sprzyjających. Stąd

2-0⋅1-8⋅16-⋅14 16-⋅14- 224- P(A ) = 2 0⋅1 9⋅18 ⋅17 = 19 ⋅17 = 323 .

Policzmy teraz zdarzenia sprzyjające do . Mamy (42) = 6 możliwości na to, które z wybranych 4 rękawiczek tworzą parę. Jeżeli to jest już ustalone (na których miejscach jest para), to te dwie rękawiczki tworzące parę możemy wybrać na 20⋅1 = 20 sposobów (pierwszą dowolnie, a druga musi być z kompletu). Pozostałe 2 rękawiczki możemy dobrać na 18⋅ 16 sposobów. Zatem