/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Wzajemne położenie prostych

Zadanie nr 1939500

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są punkty A (6,− 3),B(1,2) oraz 3 2 C (2m − 18m ,−m ) . Wyznacz wszystkie wartości m , dla których proste AB i AC są prostopadłe.

Rozwiązanie

Sposób I

Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

yB − yA 2 + 3 5 -------- = ------= ----= − 1. xB − xA 1 − 6 − 5

Zatem współczynnik kierunkowy prostej AC musi być równy 1. Mamy stąd równanie

y − y 1 = -C----A-- xC − xA −m 2 + 3 3 1 = ---3----------- / ⋅(2m − 18m − 6) 3 2m − 1 8m − 6 2 2m − 18m − 6 = −m + 3 3 2 2m + m − 1 8m − 9 = 0 m 2(2m + 1)− 9(2m + 1) = 0 2 (m − 9)(2m + 1) = 0 (m − 3)(m + 3 )(2m + 1 ) = 0.

Zatem m = − 3,m = 3 lub m = − 1 2 .

Sposób II

Sprawdzamy, kiedy wektory −→ AB i −→ AC są prostopadłe.

−→ −→ AB ∘AC = 0 [1− 6,2+ 3]∘ [2m 3 − 18m − 6,−m 2 + 3] = 0 3 2 [−5 ,5]∘ [2m − 18m − 6,−m + 3] = 0 − 5(2m 3 − 18m − 6 )+ 5 (−m 2 + 3) = 0 / : (− 5) 3 2 2m − 18m − 6+ m − 3 = 0 2m 3 + m2 − 18m − 9 = 0 m 2(2m + 1 )− 9(2m + 1) = 0 2 (m − 9 )(2m + 1) = 0 (m − 3 )(m + 3)(2m + 1) = 0 .

Zatem m = − 3,m = 3 lub m = − 1 2 .

Sposób III

Jeżeli proste AB i AC mają być prostopadłe, to trójkąt ABC musi być prostokątny i BC musi być jego przeciwprostokątną. Mamy zatem równanie

2 2 2 BC = AB + AC (2m 3 − 18m − 1)2 + (−m 2 − 2)2 = 2 2 3 2 2 2 = (1 − 6) + (2 + 3) + (2m − 18m − 6) + (−m + 3) 4m 6 + 324m 2 + 1 − 72m 4 − 4m 3 + 36m + m 4 + 4m 2 + 4 = = 2 5+ 25+ 4m 6 + 32 4m 2 + 36 − 7 2m 4 − 24m 3 + 216m + m 4 − 6m 2 + 9 3 2 1 − 4m + 36m + 4m + 4 = = 5 0+ 36− 24m 3 + 2 16m − 6m 2 + 9 3 2 20m + 10m − 180m − 90 = 0 / : 10 2m 3 + m 2 − 18m − 9 = 0 m 2(2m + 1)− 9(2m + 1) = 0 2 (m − 9)(2m + 1) = 0 (m − 3)(m + 3)(2m + 1 ) = 0.

Zatem m = − 3,m = 3 lub 1 m = − 2 .  
Odpowiedź: { } m ∈ − 3,− 1,3 2

Wersja PDF