Środek okręgu przechodzącego przez punkty A=(1, 4) i B=(-6, 3)... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Odległość punktu od prostej, 1496043

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Odległość punktu od prostej

Zadanie nr 1496043

Środek okręgu przechodzącego przez punkty $A = (1,4)$ i $B = (− 6,3 )$ leży na osi $0x$ .

Wyznacz równanie tego okręgu.
Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej $AB$ i oddalonej od początku układu współrzędnych o $√ -- 2$ .

Rozwiązanie

Możemy zacząć od szkicowego rysunku.

Środek $O$ okręgu możemy wyznaczyć szukając punktu $(x ,0)$ , który jest równo odległy od punktów $A$ i $B$ , ale ponieważ i tak będziemy musieli pisać proste prostopadłe do $AB$ (w następnym podpunkcie), to zrobimy to inaczej: napiszemy równanie symetralnej odcinka $AB$ i znajdziemy jej punkt wspólny z osią $Ox$ .
Symetralna musi przechodzić przez środek odcinka $AB$ , czyli przez punkt
$( ) ( ) 1-−-6- 4+--3- 5-7- S = 2 , 2 = − 2,2 .$
Równanie symetralnej możemy napisać pisząc najpierw równanie prostej $AB$ i potem szukając prostej prostopadłej do niej i przechodzącej przez $S$ . Znacznie prościej jest jednak skorzystać ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora $→v = [p,q]$ i przechodzącej przez punkt $(x0,y0)$
$p (x− x0)+ q(y− y0) = 0.$
W naszej sytuacji mamy $→ → v = AB = [− 7,− 1]$ . Daje to nam prostą
$( 5) ( 7) − 7 x+ -- − y− -- = 0 2 2 35- 7- − 7x − 2 − y + 2 = 0 ⇒ y = −7x − 14.$
Prosta ta przecina oś $Ox$ w punkcie $O (− 2,0)$ . Wyliczmy jeszcze promień okręgu.
$∘ --------------------- --- AO = (−2 − 1 )2 + (0 − 4)2 = √ 2 5 = 5.$
Zatem szukane równanie okręgu to
$2 2 (x + 2) + y = 25 .$

Odpowiedź: $(x + 2)2 + y2 = 25$
Wiemy już, że proste prostopadłe do $AB$ są postaci $y = − 7x+ b$ . Współczynnik $b$ wyznaczymy ze wzoru na odległość punktu $P = (x0,y0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ : $|Ax-0 +-By0-+-C-| √ --2----2- . A + B$
W naszej sytuacji punkt $(0,0)$ ma być odległy od prostej $y = − 7x + b$ o $√ -- 2$ , co daje nam równanie
$√ -- |− 7 ⋅0 − 0 + b| |b| 2 = ∘-----------------= √---- (−7 )2 + (− 1)2 50 |b| = 1 0 ⇒ b = ± 10.$

Odpowiedź: $y = −7x − 10$ i $y = − 7x + 10$