Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 6357687

W układzie współrzędnych są dane punkty A = (− 4,− 2) , B = (5,4) .

  • Oblicz odległość punktu C = (− 1 ,4 ) od prostej przechodzącej przez punkty A i B .
  • Uzasadnij, że jeśli m ⁄= 0 , to punkty A , B oraz punkt D = (− 1,m ) są wierzchołkami trójkąta.
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Zacznijmy od rysunku.
    PIC

    Aby móc skorzystać ze wzoru na odległość punktu od prostej musimy mieć równanie prostej AB . Korzystamy ze wzoru na równanie prostej przez dwa punkty A = (xA ,yA) i B = (xB,yB ) :

    (y − yA )(xB − xA )− (yB − yA)(x − xA ) = 0.

    W naszej sytuacji:

    (y − (− 2))(5 − (− 4)) − (4 − (− 2))(x − (− 4))) = 0 (y+ 2)9− 6(x+ 4) = 0 9y − 6x− 6 = 0 3y − 2x− 2 = 0 2x − 3y+ 2 = 0.

    Teraz korzystamy ze wzoru na odległość punktu P = (x0,y0) od prostej Ax + By + C = 0 :

    |Ax 0 + By0 + C | ---√---2----2----. A + B

    W naszej sytuacji mamy:

    |2 ⋅(− 1)− 3⋅4 + 2| |− 2 − 12 + 2 | -------√------------ = -----√---------= 9+ 4√ --- 13 12 1 2 13 = √----= -------. 13 13

     
    Odpowiedź:  √-- 12-13 13

  • Co to znaczy, że 3 punkty są wierzchołkami trójkąta? – to znaczy, że nie leżą na jednej prostej. Musimy zatem sprawdzić, że punkt D = (− 1,m ) nie leży na prostej AB . Ponieważ wyliczyliśmy już równanie tej prostej, nie ma z tym problemu (wstawiamy współrzędne tego punktu do równania prostej i patrzymy, że nie wyjdzie 0):
    2 ⋅(− 1)− 3m + 2 = 3m ⁄= 0.
Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!