Wyznacz odległość między prostymi y=2x+5 i y=2x-5.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Odległość między prostymi, 5466106

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Odległość między prostymi

Zadanie nr 5466106

Wyznacz odległość między prostymi $y = 2x + 5$ i $y = 2x − 5$ .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

Sposób I

Odległość między prostymi obliczymy w następujący sposób: napiszemy równanie prostej prostopadłej do danych prostych i znajdziemy jej punkty przecięcia $A ,B$ z tymi prostymi. Odległość między prostymi będzie równa długości odcinka $AB$ .

Jako prostą prostopadłą do danych prostych możemy wziąć $1 y = − 2 x$ (możemy też wziąć jakąkolwiek inną ze współczynnikiem kierunkowym $− 12$ , nie ma to większego znaczenia). Szukamy jej punktów wspólnych z danymi prostymi.

Najpierw z pierwszą prostą

{ y = 2x + 5 y = − 1x 2

Porównujemy $y$ -ki.

1- 5- 2x + 5 = − 2x ⇐ ⇒ 2x = −5 ⇐ ⇒ x = − 2.

Stąd $y = − 1x = 1 2$ i $A = (− 2,1)$ .

Teraz punkt wspólny z drugą prostą

{ y = 2x − 5 y = − 12x

Porównujemy $y$ -ki.

1- 5- 2x − 5 = − 2x ⇐ ⇒ 2x = 5 ⇐ ⇒ x = 2.

Stąd $y = − 1x = − 1 2$ i $B = (2,− 1)$ .

Pozostało obliczyć długość odcinka $AB$ .

∘ --------------------- 2 2 √ ------- √ --- √ -- |AB | = (2 + 2) + (− 1 − 1) = 16 + 4 = 20 = 2 5.

Sposób II

Skorzystamy ze wzoru na odległość punktu $P = (x 0,y 0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ :

|Ax-0√-+-By-0 +-C|. A 2 + B 2

W naszej sytuacji za punkt możemy wziąć dowolny punkt prostej $y = 2x + 5$ , np. $A = (− 2,1)$ , a za prostą: prostą $2x − y− 5 = 0$ . Szukana odległość jest więc równa