Dany jest wielomian W(x)=10x^3+15x^2+7x+1. Zapisz wielomian W(x)... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Rozkład, 9916119

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Stopnia 3

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Stopnia 3/Rozkład

Zadanie nr 9916119

Dany jest wielomian $3 2 W (x) = 10x + 15x + 7x + 1$ .

Zapisz wielomian $W (x)$ jako iloczyn wielomianów liniowych.
Określ dziedzinę funkcji $( ) f (x) = log (−x ) + log − W-(x) 3 3 x$ .

Rozwiązanie

Szukamy pierwiastków wymiernych wielomianu. Sprawdzamy -1,1 i nic. Teraz czas na ułamki. W rachubę wchodzą $1- 1- 1-- ± 2,± 5,± 10.$
Zaczynamy sprawdzać i znajdujemy pierwiastek $1 x = − 2$ :
$− 10-+ 15-− 7+ 1 = −-5-+-15-− 7-+ 1 = 5−-7-+ 1 = 0. 8 4 2 4 2 2$
Powinniśmy teraz dzielić przez $(x+ 1) 2$ , ale żeby nie mieć ułamków, wygodniej jest dzielić przez $(2x + 1)$ . My, jak zwykle, zrobimy to grupując wyrazy.
$10x 3 + 1 5x2 + 7x + 1 = (10x 3 + 5x2)+ (10x2 + 5x) + 2x + 1 = 2 = (2x + 1 )(5x + 5x + 1).$
Teraz rozkładamy trójmian w nawiasie.
$2 5x + 5x + 1 = 0 Δ = 25− 20 = 5 √ -- √ -- x = −-5-−---5- ∨ x = −-5-+---5-. 10 10$
Mamy zatem
$( ) ( √ -) ( √ -) W (x ) = 10 x + 1- x + 5-+---5- x+ 5−----5- . 2 10 10$

Odpowiedź: $( ) ( √- )( √ -) W (x ) = 10 x+ 1 x + 5+--5- x+ 5−--5 2 10 10$
Patrzymy najpierw na pierwszy logarytm. $− x$ musi być dodatni, czyli musi być $x < 0$ . Jeżeli teraz popatrzymy na drugi, to widać, że musi być $W (x) > 0$ (bo $x < 0$ ). Z poprzedniego podpunktu wiemy, że $( ) ( ) ( 1 ) 5 + √ 5- 5− √ 5- W (x ) = 10 x + -- x + -------- x+ -------- . 2 10 10$
Ponadto
$√ -- √ -- −-5-−---5-≈ −0 ,7, −-5-+---5-≈ −0 ,3, 1 0 1 0$
więc rozwiązaniem nierówności $W (x) > 0$ jest zbiór
$( ) ( ) √ -- √ -- −-5-−---5,− 1- ∪ −-5-+---5-,+ ∞ . 1 0 2 10$
Uwzględniając warunek $x < 0$ daje nam to
$( √ -- ) ( √ -- ) − 5 − 5 1 − 5+ 5 ----10----,− 2- ∪ ---10----,0 .$