/Szkoła średnia/Funkcje - wykresy/Homografia

Zadanie nr 2875082

Wykres funkcji a f(x) = x dla x ∈ R ∖ {0} , gdzie a ⁄= 0 , przesunięto o wektor →u = [− 3,2] i otrzymano wykres funkcji g . Do wykresu funkcji g należy punkt A = (− 4,6) . Oblicz a , następnie rozwiąż nierówność g (x ) < 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na przesunięcie funkcji y = f (x) o wektor → v = [a,b] :

y = f(x − a) + b.

Z powyższego wzoru a g (x) = x+-3 + 2 . Informacja o punkcie (− 4,6) na wykresie tej funkcji daje nam równanie

a 6 = ------- + 2 − 4 + 3 − 4 = a.

Pozostało rozwiązać nierówność

-−-4-- x + 3 + 2 < 4 − 4 ------− 2 < 0 x + 3 −-2x-−-10- x + 3 < 0.

Ostatnia nierówność jest równoważna nierówności

(−2x − 10)(x + 3) < 0 − 2(x+ 5)(x + 3) < 0 (x+ 5)(x + 3) > 0

a to jest już zwykła parabola (rysunek) czyli x ∈ (− ∞ ,− 5)∪ (−3 ,∞ ) .

PIC

 
Odpowiedź: a = − 4 , x ∈ (− ∞ ,− 5)∪ (− 3,∞ )

Wersja PDF