Zadanie nr 5074509

Wykres funkcji a y = x , gdzie a ⁄= 0 przesunięto o wektor [2,3] i otrzymano wykres funkcji, która ma dokładnie dwa punkty wspólne z okręgiem o równaniu x2 − 4x + y2 − 6y + 12 = 0 . Wyznacz .

Rozwiązanie

Przesuwając wykres funkcji a y = x o wektor [2,3] otrzymamy wykres funkcji

a y = ------+ 3, x − 2

czyli hiperbolę o asymptotach y = 3 i x = 2 . Aby naszkicować podany okrąg, przekształćmy jego równanie

2 2 (x − 2) − 4+ (y− 3) − 9+ 1 2 = 0 (x − 2)2 + (y− 3)2 = 1.

Jest to więc okrąg o promieniu 1 i środku w punkcie (2,3) . Teraz możemy naszkicować opisaną sytuację.

Punkty wspólne tych dwóch krzywych znajdujemy podstawiając y = xa−2-+ 3 do równania okręgu.

( ) 2 --a--- 2 (x − 2 ) + x − 2 + 3 − 3 = 1 2 ---a2---- (x − 2 ) + (x − 2)2 = 1.

Podstawmy teraz (x − 2)2 = t .

a2 t+ t-= 1 / ⋅t 2 2 t + a = t t2 − t+ a2 = 0.

Teraz chwilę się zastanówmy co dalej. Jeżeli powyższe równanie nie ma rozwiązań, lub rozwiązania są ujemne, to interesujące nas krzywe w ogóle się nie przecinają. Jeżeli natomiast równanie ma dwa rozwiązania i przynajmniej jedno jest dodatnie, na mocy wzorów Viète’a ich iloczyn jest równy , więc oba są dodatnie (tu jest ważne, że a ⁄= 0 ). To pozwoli jednak wyliczyć 4 wartości , co jest sprzeczne z informacją, że wykresy przecinają się dokładnie w dwóch punktach. Zatem powyższe równanie musi mieć dokładnie jeden pierwiastek, czyli musi być Δ = 0 .