Zadanie nr 2443363
Dla jakich wartości parametru równanie
ma dwa pierwiastki różnych znaków?
Rozwiązanie
Sposób I
Na początek zastanówmy się kiedy (dla jakich ) równanie
ma dwa pierwiastki różnych znaków. W tym celu rysujemy wykres funkcji
(jest to
przesunięta o dwie jednostki w prawo) i patrzymy kiedy przecina on prostą
w dwóch punktach leżących po przeciwnych stronach osi
.

Z wykresu widać, że tak będzie dla . Musimy zatem rozwiązać nierówność

Sposób II
Ogólnie równanie ma dwa pierwiastki jeżeli
. W takim przypadku pierwiastki te są równe
i
. Sprawdźmy więc na początek kiedy
(czyli kiedy podane równanie ma dwa pierwiastki). Liczymy,
,

A zatem

Przy powyższym założeniu pierwiastkami równania są liczby takie, że

Przy naszym założeniu o dodatniości prawej strony równania, mamy . Pozostało sprawdzić kiedy
.

Dalej,

Zatem

W połączeniu z poprzednią nierównością (bo i
) mamy

Odpowiedź: