/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Liniowe/Z parametrem

Zadanie nr 3077580

Dla jakich wartości parametru k równanie 2 |x + 5|+ k − 4k− 26 = 0 ma dwa pierwiastki różnych znaków?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zapiszmy dane równanie w postaci

2 |x + 5| = −k + 4k + 26 .

Sposób I

Na początek zastanówmy się kiedy (dla jakich m ) równanie |x + 5 | = m ma dwa pierwiastki różnych znaków. W tym celu rysujemy wykres funkcji y = |x + 5 | (jest to wykres y = |x | przesunięty o 5 jednostek w lewo) i patrzymy kiedy przecina on prostą y = m w dwóch punktach leżących po przeciwnych stronach osi Oy .

PIC

Z wykresu widać, że tak będzie dla m > 5 . Musimy zatem rozwiązać nierówność

− k2 + 4k+ 26 > 5 2 k − 4k − 21 < 0 Δ = 16 + 84 = 1 00 k = 4−--10-= − 3, ∨ k = 4-+-10-= 7 2 2 k ∈ (− 3,7).

Sposób II

Ogólnie, równanie |t| = a ma dwa pierwiastki jeżeli a > 0 . W takim przypadku pierwiastki te są równe t = a i t = −a . Sprawdźmy więc na początek, kiedy − k2 + 4k + 26 > 0 (czyli kiedy podane równanie ma dwa pierwiastki). Liczymy, Δ = 16+ 104 = 1 20 ,

√ --- √ --- k1 = −-4-−-2--30-= 2+ 30 ≈ 7,5 − 2√ --- − 4 + 2 30 √ --- k2 = ------------= 2− 30 ≈ − 3,5 −√ 2--- √ --- k ∈ (2− 30,2+ 30).

Przy powyższym założeniu pierwiastkami równania są liczby x1,x2 takie, że

2 x1 + 5 = − k + 4k + 26 x2 + 5 = − (−k 2 + 4k + 26).

Przy naszym założeniu o dodatniości prawej strony równania, mamy x 2 < 0 . Pozostało sprawdzić kiedy x1 > 0 .

− k2 + 4k+ 26 − 5 > 0 k2 − 4k − 21 < 0 Δ = 16 + 84 = 1 00 4−--10- 4-+-10- k = 2 = − 3, ∨ k = 2 = 7 k ∈ (− 3,7).

Sprawdzamy na koniec, że otrzymane rozwiązanie spełnia wcześniej otrzymany warunek: √ --- √ --- k ∈ (2 − 30,2 + 30 ) .  
Odpowiedź: k ∈ (− 3,7)

Wersja PDF