Zadanie nr 4267284

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie |x − 2|+ |x + 3 | = p ma dokładnie dwa rozwiązania.

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy do rozpatrzenia 3 przypadki.

Jeżeli x ≥ 2 to mamy równanie

x − 2 + x + 3 = p p-−-1- 2x = p− 1 ⇒ x = 2 .

Sprawdźmy jeszcze kiedy x ≥ 2 .

p-−-1- 2 ≥ 2 ⇒ p ≥ 5 .

Jeżeli − 3 ≤ x < 2 to mamy

−x + 2 + x + 3 = p ⇒ p = 5.

Jeżeli x < − 3 to mamy równanie

− x+ 2− x− 3 = p − 2x = p + 1 ⇒ x = − p-+-1-. 2

Sprawdźmy kiedy x < − 3

− p-+-1-< − 3 2 p-+-1- 2 > 3 ⇒ p > 5 .

Widać z powyższych rachunków, że dokładnie dwa pierwiastki będą dla p > 5 (dla p = 5 jest nieskończenie wiele rozwiązań).

Sposób II

Tym razem narysujemy wykres lewej strony. Aby to zrobić, zapiszmy lewą stronę bez wartości bezwzględnej.

(| { x− 2+ x+ 3 = 2x + 1 dla x ≥ 2 |x− 2|+ |x + 3| = −x + 2 + x + 3 = 5 dla − 3 ≤ x < 2 |( −x + 2 − x − 3 = − 2x − 1 dla x < −3 .

Rysujemy teraz wykres i bez trudu odczytujemy, że przecina się on z prostą y = p w dokładnie dwóch punktach dla p > 5 .

Odpowiedź: p > 5