Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Z parametrem, 4267284

Forum

Liniowe

Zadanie nr 4267284

Wyznacz wszystkie wartości parametru $p$ , dla których równanie $|x − 2|+ |x + 3 | = p$ ma dokładnie dwa rozwiązania.

Rozwiązanie

Sposób I

Mamy do rozpatrzenia 3 przypadki.

Jeżeli $x ≥ 2$ to mamy równanie

x − 2 + x + 3 = p p-−-1- 2x = p− 1 ⇒ x = 2 .

Sprawdźmy jeszcze kiedy $x ≥ 2$ .

p-−-1- 2 ≥ 2 ⇒ p ≥ 5 .

Jeżeli $− 3 ≤ x < 2$ to mamy

−x + 2 + x + 3 = p ⇒ p = 5.

Jeżeli $x < − 3$ to mamy równanie

− x+ 2− x− 3 = p − 2x = p + 1 ⇒ x = − p-+-1-. 2

Sprawdźmy kiedy $x < − 3$

− p-+-1-< − 3 2 p-+-1- 2 > 3 ⇒ p > 5 .

Widać z powyższych rachunków, że dokładnie dwa pierwiastki będą dla $p > 5$ (dla $p = 5$ jest nieskończenie wiele rozwiązań).

Sposób II

Tym razem narysujemy wykres lewej strony. Aby to zrobić, zapiszmy lewą stronę bez wartości bezwzględnej.

(| { x− 2+ x+ 3 = 2x + 1 dla x ≥ 2 |x− 2|+ |x + 3| = −x + 2 + x + 3 = 5 dla − 3 ≤ x < 2 |( −x + 2 − x − 3 = − 2x − 1 dla x < −3 .

Rysujemy teraz wykres i bez trudu odczytujemy, że przecina się on z prostą $y = p$ w dokładnie dwóch punktach dla $p > 5$ .

Odpowiedź: $p > 5$

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!