Zadanie nr 4750379
Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie
ma cztery rozwiązania.
Rozwiązanie
Równanie możemy zapisać w postaci
![2 (|x|) + m |x |+ 1,25 = 0,](https://img.zadania.info/zad/4750379/HzadR0x.gif)
czyli
![2 t + mt + 1,25 = 0](https://img.zadania.info/zad/4750379/HzadR1x.gif)
dla . Kiedy równanie będzie miało cztery rozwiązania? – aby tak było muszą być dwa pierwiastki
i
powyższego równania oraz każdy z tych pierwiastków musi dawać dwie wartości
. Oznacza to, że musimy mieć
,
. Zauważmy, że wtedy automatycznie pierwiastki pochodzące od
są różne od pierwiastków pochodzących od
.
Zacznijmy od sprawdzenia kiedy równanie ma dwa pierwiastki
![√ -- √ -- 0 < Δ = m 2 − 5 ⇒ m ∈ (− ∞ ,− 5)∪ ( 5,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/4750379/HzadR10x.gif)
Sprawdźmy kiedy pierwiastki równania są dodatnie. Tak będzie gdy ich suma i iloczyn są dodatnie. Na mocy wzorów Viète’a mamy
![0 < x + x = −m ⇒ m < 0 1 2 0 < x1x2 = 1 ,25.](https://img.zadania.info/zad/4750379/HzadR11x.gif)
Odpowiedź: