Zadanie nr 9238066

Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie

2 (x − 2x + m − 2)(|x − 1|− m + 1) = 0

ma dokładnie trzy pierwiastki rzeczywiste? Oblicz te pierwiastki.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Tak naprawdę mamy dwa równania. Sprawdźmy, dla każdego z nich osobno, ile mają pierwiastków.

Najpierw zajmijmy się równaniem

x2 − 2x + m − 2 = 0 Δ = 4− 4m + 8 = 4(3− m ).

Teraz pora na drugie równanie

|x − 1|− m + 1 = 0 |x − 1| = m − 1.

Równanie to ma jedno rozwiązanie dla m = 1 , dwa dla m > 1 i nie ma rozwiązań dla m < 1 .

No dobrze, kiedy wyjściowe równanie będzie miało 3 pierwiastki? – możliwe są dwie sytuacje: albo jedno z równań ma jeden pierwiastek, a drugie dwa; albo oba mają po dwa, ale jeden z pierwiastków jest wspólny. Na mocy powyższej analizy, pierwsza sytuacja może mieć miejsce tylko dla m = 3 lub m = 1 .

Jeżeli m = 3 to mamy

2 x − 2x+ 1 = 0 ∨ |x − 1 | = 2 (x− 1)2 = 1 ∨ x− 1 = 2 ∨ x − 1 = − 2 x = 1 ∨ x = 3 ∨ x = −1 .

Jeżeli m = 1 to drugie równanie ma pierwiastek x = 1 , a równanie kwadratowe

2 x − 2x− 1 = 0 Δ = 8 √ -- √ -- x1 = 1 − 2, x 2 = 1+ 2.

Pozostała do rozpatrzenia sytuacja, gdy oba równania mają po dwa pierwiastki. Pierwiastki drugiego równania łatwo wyznaczyć: są to x = m i x = 2− m . Sprawdźmy, czy jedna ztych liczb może być pierwiastkiem pierwszego równania.

2 2 0 = m − 2m + m − 2 = m − m − 2 Δ = 1+ 8 = 9 ⇒ m = − 1 ∨ m = 2 2 0 = (2 − m ) − 2(2− m )+ m − 2 = (2 − m )(2 − m − 2− 1 ) = (m − 2 )(m + 1) m = − 1 ∨ m = 2.

Sprawdzamy te wartości ręcznie. Dla m = − 1 drugie równanie w ogóle nie ma rozwiązań. Jeżeli m = 2 to z drugiego równania mamy x = 2 lub x = 0 , a pierwsze równania ma postać:

2 0 = x − 2x = x(x − 2).

Zatem obydwa pierwiastki są wspólne.

Sposób II

Zadanie można też rozwiązać graﬁcznie. W tym celu zapiszmy podane równanie w postaci

2 − x + 2x + 2 = m ∨ |x − 1|+ 1 = m .

Musimy teraz narysować oba wykresy w układzie współrzędnych i zobaczyć kiedy prosta y = m przecina je dokładnie w 3 punktach.

Z wykresu wyraźnie widać, że sytuacja taka ma miejsce dla m = 1 i m = 3 . Pierwiastki znajdujemy jak w poprzednim sposobie.

Sposób III

Powyższe rozwiązania (szczególnie drugie) pokazują symetryczność całego obrazka względem prostej x = 1 . Spróbujmy tę symetrię wykorzystać. Podstawiając t = x − 1 mamy równanie

((t+ 1)2 − 2 (t+ 1) + m − 2)(|t| − m + 1) = 0 (t2 + m − 3)(|t|− m + 1) = 0.

Oba równania mają pierwiastki tylko dla m ∈ ⟨1,3⟩ i pierwiastki te są równe

− √ 3−--m,√ 3-−-m-,m − 1,1− m .

Pytanie brzmi: kiedy są to dokładnie trzy różne liczby? Ponieważ są to dwie pary liczb przeciwnych, tak będzie gdy jedna z nich jest zero (to nam daje m = 3 i m = 1 ). Sytuacja √ ------ 3− m = m − 1 da tylko dwa pierwiastki, bo wtedy √ ------ − 3 − m = 1 − m . Dla m = 3 i m = 1 mamy odpowiednio pierwiastki