Sposób I
Tak naprawdę mamy dwa równania. Sprawdźmy, dla każdego z nich osobno, ile mają pierwiastków.
Najpierw zajmijmy się równaniem
Teraz pora na drugie równanie
Równanie to ma jedno rozwiązanie dla , dwa dla
i nie ma rozwiązań dla
.
No dobrze, kiedy wyjściowe równanie będzie miało 3 pierwiastki? – możliwe są dwie sytuacje: albo jedno z równań ma jeden pierwiastek, a drugie dwa; albo oba mają po dwa, ale jeden z pierwiastków jest wspólny. Na mocy powyższej analizy, pierwsza sytuacja może mieć miejsce tylko dla lub
.
Jeżeli to mamy
Jeżeli to drugie równanie ma pierwiastek
, a równanie kwadratowe
Pozostała do rozpatrzenia sytuacja, gdy oba równania mają po dwa pierwiastki. Pierwiastki drugiego równania łatwo wyznaczyć: są to i
. Sprawdźmy, czy jedna ztych liczb może być pierwiastkiem pierwszego równania.
Sprawdzamy te wartości ręcznie. Dla
drugie równanie w ogóle nie ma rozwiązań. Jeżeli
to z drugiego równania mamy
lub
, a pierwsze równania ma postać:
Zatem obydwa pierwiastki są wspólne.
Sposób II
Zadanie można też rozwiązać graficznie. W tym celu zapiszmy podane równanie w postaci
Musimy teraz narysować oba wykresy w układzie współrzędnych i zobaczyć kiedy prosta przecina je dokładnie w 3 punktach.
Z wykresu wyraźnie widać, że sytuacja taka ma miejsce dla i
. Pierwiastki znajdujemy jak w poprzednim sposobie.
Sposób III
Powyższe rozwiązania (szczególnie drugie) pokazują symetryczność całego obrazka względem prostej . Spróbujmy tę symetrię wykorzystać. Podstawiając
mamy równanie
Oba równania mają pierwiastki tylko dla i pierwiastki te są równe
Pytanie brzmi: kiedy są to dokładnie trzy różne liczby? Ponieważ są to dwie pary liczb przeciwnych, tak będzie gdy jedna z nich jest zero (to nam daje i
). Sytuacja
da tylko dwa pierwiastki, bo wtedy
. Dla
i
mamy odpowiednio pierwiastki
Odpowiedź: dla
i
dla