/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Liniowe/Z parametrem

Zadanie nr 9279322

Dla jakich wartości parametru m , równanie 2 |x − 1| = m − 2m + 1 ma dwa pierwiastki dodatnie?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Dane równanie ma postać

|x − 1| = a.

Jakie musi być a , żeby to równanie miało dwa rozwiązania dodatnie? Jeden ze sposobów na znalezienie odpowiedzi, to narysowanie wykresu y = |x − 1 | , czyli funkcji y = |x | przesuniętej o jedną jednostkę w prawo.

PIC

Z tego wykresu jest jasne, że równanie |x − 1| = a ma dwa rozwiązania dodatnie tylko dla 0 < a < 1 .

Jeżeli ktoś wolałby to obliczyć zamiast odczytywać z wykresu, to równanie to ma dwa rozwiązania tylko dla a > 0 – te rozwiązania to

x − 1 = a ⇐ ⇒ x = a + 1 x − 1 = −a ⇐ ⇒ x = −a + 1.

Są one dodatnie tylko dla

a + 1 > 0 ⇐ ⇒ a > − 1 −a + 1 > 0 ⇐ ⇒ a < 1

co daje tę samą odpowiedź co poprzednio (bo a > 0 ).

Pozostało rozwiązać nierówność (a w zasadzie dwie) kwadratową

2 0 < m − 2m + 1 < 1 0 < (m − 1 )2 < 1 2 m ⁄= 1 ∧ (m − 1 ) − 1 < 0 m ⁄= 1 ∧ (m − 1 − 1)(m − 1 + 1) < 0 m ⁄= 1 ∧ (m − 2 )m < 0 m ⁄= 1 ∧ m ∈ (0,2).

 
Odpowiedź: (0,1) ∪ (1,2)

Wersja PDF