/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Prostokąt

Zadanie nr 7810207

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Długości boków prostokąta ABCD są równe: √ -- |AB | = 1 2 2 i |AD | = 6 . Na odcinku BD wybrano punkt E w ten sposób, że √ -- |AE | = 4 3 . Oblicz długość odcinka DE .

Rozwiązanie

Sposób I

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Obliczmy na początek długość przekątnej.

∘ ----2------2 √ --------- √ ---- BD = AB + AD = 28 8+ 36 = 324 = 18.

Długość odcinka DE = x obliczymy pisząc twierdzenie cosinusów w trójkącie AED . Zanim to jednak zrobimy zauważmy, że jeżeli ∡ADE = α to

cos α = AD-- = 6--= 1. BD 18 3

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie AED .

2 2 2 AE = AD + DE − 2⋅AD ⋅DE co sα 2 1- 48 = 36 + x − 2 ⋅6⋅ x⋅ 3 2 0 = x − 4x − 12 Δ = 16 + 4 8 = 64 4 − 8 4+ 8 x = ------= − 2 ∨ x = -----= 6. 2 2

Zatem DE = 6 .

Sposób II

Umieśćmy prostokąt ABCD w układzie współrzędnych tak, aby √ -- A = (0,0),B = (12 2 ,0 ),D = (0,6) .

PIC

Co wiemy o punkcie E ? – wiemy, że leży jednocześnie na prostej BD i okręgu o środku w A = (0,0) i promieniu √ -- 4 3 . Napiszemy więc równania prostej i okręgu i znajdziemy ich punkty wspólne.

Z okręgiem jest łatwo:

2 2 √ --2 x + y = (4 3) = 48.

Teraz prosta BD . Szukamy jej w postaci y = ax + b i podstawiamy współrzędne punktów B i D .

{ √ -- 0 = 12 2a + b 6 = b.

Z pierwszego równania wyliczamy a

√ -- 6 √ 2- 12 2a = −b = − 6 ⇒ a = − ---√---= − ----. 12 2 4

Prosta BD ma więc równanie √ - y = − -42x + 6 . Podstawiamy to wyrażenie do równania okręgu.

( √ -- ) 2 2 --2- x + − 4 x + 6 = 48 2 1- 2 √ -- x + 8x − 3 2x+ 36 = 48 / ⋅8 2 √ -- 9x − 24√ -2x − 9 6 = 0 / : 3 3x2 − 8 2x − 32 = 0 √ -- Δ = 128+ 384 = 51 2 = (16 2)2 √ -- √ -- √ -- √ -- √ -- x = 8---2−--16--2 < 0 ∨ x = 8--2-+-1-6--2 = 4 2 . 6 6

Pierwszy pierwiastek odpowiada punktowi, który nie leży na odcinku BD , więc √ -- x = 4 2 i

√ -- --2- √ -- y = − 4 ⋅4 2 + 6 = 4.

Tak więc √ -- E = (4 2,4) i

∘ ------------------- DE = (4√ 2-)2 + (4 − 6)2 = √ 3-2+-4 = 6.

 
Odpowiedź: |DE | = 6

Wersja PDF