Zadanie nr 9316669
Uzasadnij, że jeżeli prostokąt 
nie jest kwadratem, to punkty przecięcia dwusiecznych jego kątów wewnętrznych są wierzchołkami kwadratu.
Rozwiązanie
Dorysujmy dwusieczne prostokąta.
Zauważmy, że każdy z trójkątów 
ma dwa kąty równe 
, więc są prostokątne i równoramienne. To oznacza, że każdy z kątów czworokąta 
jest prosty, jest to więc prostokąt. Pozostało wykazać, że tak naprawdę jest to kwadrat.
Sposób I
Zauważmy, że prosta 
przechodząca przez środki boków 
i 
prostokąta jest osią symetrii całego narysowanego obrazka, tzn. przy symetrii względem tej prostej na siebie przechodzi zarówno prostokąt, jak i jego dwusieczne. Ponadto prosta ta zwiera przekątną 
prostokąta 
. To oznacza, że jest to także oś symetrii tego prostokąta. To koniec, bo prostokąt, w którym przekątna jest osią symetrii musi być kwadratem.
Sposób II
Pokażemy, że dwa sąsiednie boki prostokąta 
są równe, co będzie oznaczało, że musi to być kwadrat.
Zauważmy, że trójkąty 
i 
są przystające (bo oba mają równe kąty i wspólny bok 
). Zatem 
. To oznacza, że 
. Analogicznie pokazujemy, że 
. Mamy więc
To z kolei oznacza, że trójkąty 
i 
są przystające. Mamy zatem
co kończy dowód.
Sposób III
Tak jak poprzednio zauważamy, że 
. Teraz patrzymy na równoległoboki 
i 
. Mają one równe kąty i równe długości boków, co oznacza, że są przystające. W takim razie mają równe wysokości, czyli
