/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 1530595

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie ABC poprowadzono prostą MN równoległą do prostej AB tak, że M należy do AC , N należy do BC oraz |MN | = |AM |+ |BN | . Oblicz |MN | , jeśli |AB | = c , a miary kątów trójkąta przy boku AB wynoszą α oraz β .

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Niech AC = b , BC = a oraz MN = x . O liczbach a i b możemy sobie myśleć, że są dane, bo łatwo je wyliczyć z twierdzenia sinusów

--a--= -----c----- ⇒ a = --c-sin-α--- sinα sin(α + β ) sin(α + β ) b c c sin β -----= ----------- ⇒ b = -----------. sin β sin(α + β ) sin(α + β )

Trójkąty ABC i MNC są podobne – oznaczmy ich skalę podobieństwa przez k . Mamy

c c --= k ⇒ x = --. x k

Pozostało wyliczyć skalę podobieństwa k . Aby to zrobić, zauważmy, że obwód trójkąta MNC jest równy a+ b . Rzeczywiście, wynika to natychmiast z warunku MN = AM + BN . Możemy zatem wyliczyć k porównując obwody trójkątów ABC i MNC .

a-+-b-+-c k = a + b .

Mamy stąd

c c(a + b) x = -a+b-+c = --------- -a+b-- a+ b+ c 2 = c(a-+-b-+-c)-−-c- = a + b + c c2 = c − --------- = a + b + c 2 = c − ----------c----------- = --csinα--+ -csin-β--+ c sin(α+ β) sin(α+β) csin(α + β ) = c − --------------------------. sin α+ sin β + sin(α + β)

 
Odpowiedź: c − -----csin(α+β)---- sin α+sin β+sin(α+β)

Wersja PDF