/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 2046368

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r . Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC . Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ASD jest trzy razy większa od miary kąta ACS , to |BC | = r .

PIC

Rozwiązanie

Dorysujmy promień SB i oznaczmy ∡BSC = β .

PIC

Zauważmy, że wystarczy pokazać, że β = α , bo wtedy trójkąt SBC jest równoramienny i BC = BS = r . Liczymy kolejno

∘ ∡SBC = 180 − (α + β) ∡BAS = ∡ABS = 180 ∘ − ∡ ∡SBC = α + β ∘ ∘ ∡ASB = 180 − ∡ABS − ∡BAS = 180 − 2(α + β).

Mamy stąd

∘ ∘ 180 = ∡ASD + ∡ASB + ∡BSC = 3α + 1 80 − 2(α+ β) + β β = α.

Jak zauważyliśmy wcześniej to oznacza, że BC = BS = r .

Wersja PDF