/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 3052246

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że proste przechodzące przez wierzchołek równoległoboku i środki boków, do których on nie należy, dzielą przekątną równoległoboku na trzy równe części.

Rozwiązanie

Niech S będzie środkiem równoległoboku, E i F niech będą środkami odpowiednio boków AD i CD , a K i L niech będą punktami przecięcia odcinków BE i BF z przekątną AC . W szczególności punkt S jest środkiem odcinków AC i BD (bo przekątne równoległoboku dzielą się na połowy).

PIC

Musimy wykazać, że AK = KL = LC .

Sposób I

Dorysujmy przekątną BD trapezu. Odcinki BE i AS są środkowymi w trójkącie ABD , więc dzielą się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka). W szczególności

AK = 2AS = 2-⋅ 1-AC = 1-AC . 3 3 2 3

Podobnie, w trójkącie CBD środkowe BF i CS dzielą się w stosunku 2:1, więc

CL = 2CS = 2⋅ 1AC = 1AC . 3 3 2 3

To oznacza, że

KL = AC − AK − CL = AC − 1AC − 1-AC = 1AC = AK = CL . 3 3 3

Sposób II

Tym razem dorysujmy odcinki SE i SF . Czworokąt ABSE jest trapezem, więc trójkąty ABK i SEK są podobne (bo mają równe kąty) w skali

k = AB--= AB-- = 2. ES DF

W takim razie

AK = 2KS = 2AS = 2⋅ 1AC = 1AC . 3 3 2 3

Analogicznie, patrząc na trapez BSF C i podobieństwo trójkątów BCL i F SL uzasadniamy, że

CL = 2SL = 2-⋅ 1AC = 1AC . 3 2 3

Równość KL = AK = CL uzasadniamy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Sposób III

Tym razem dorysujmy odcinki CE i AF .

PIC

Czworokąt ABCE jest trapezem, więc trójkąty BCK i EAK są podobne (bo mają równe kąty) w skali

k = BC--= 2. EA

To oznacza, że

CK = 2AK ⇒ AK = 1-AC . 3

Analogicznie, patrząc na trapez ABCF i podobieństwo trójkątów ABL i CF L mamy

AL = 2CL ⇒ CL = 1AC . 3

Równość KL = AK = CL uzasadniamy tak samo jak w pierwszym sposobie.

Wersja PDF