/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 3363321

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest równoległobok ABCD . Okrąg wpisany w trójkąt BCD jest styczny do przekątnej BD w punkcie L , a okrąg wpisany w trójkąt ABD ma środek S i jest styczny do boku AD w punkcie K .

PIC

Wykaż, że jeżeli odcinek SL jest równoległy do prostej AB , to |KD | = |SL| .

Rozwiązanie

Niech M będzie rzutem punktu L na bok AB , N niech będzie rzutem S na przekątną BD , a O niech będzie punktem styczności okręgu wpisanego w trójkąt BCD z bokiem BC .

PIC

Trójkąty ABD i CDB są przystające, więc odpowiadające sobie odcinki DK i BO łączące wierzchołki D i B tych trójkątów z punktami styczności K i O okręgów wpisanych w te trójkąty są równe. Zatem

KD = BO = BL

(skorzystaliśmy z tego, że odcinki stycznych do okręgu poprowadzonych z punktu B mają tę samą długość). Wystarczy zatem udowodnić, że SL = BL . Aby to zrobić patrzymy na trójkąty prostokątne SLN i LBM . Trójkąty te mają wspólny kąt

∡SLN = ∡ABL ,

bo proste SL i AB są równoległe. Ponadto

SN = LM

To oznacza, że trójkąty SLN i LBM są przystające i ich przeciwprostokątne mają równe długości

SL = BL .
Wersja PDF