/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 3741265

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Znaleźć pole kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 4 cm.

Rozwiązanie

Oznaczmy bok wpisanego kwadratu przez a .

Sposób I

Naszkicujmy opisaną sytuację i dorysujmy wysokość CG trójkąta ABC .

PIC

Jeżeli przez h oznaczymy wysokość trójkąta równobocznego ABC , to z podobieństwa trójkątów DEC i ABC mamy

DE CH ---- = ---- AB CG a- h-−-a- 4 = h ah = 4(h− a) a(h + 4) = 4h 4h a = -----. h+ 4

Pozostało skorzystać ze znanego wzoru - 4√-3 √ -- h = 2 = 2 3 .

√ -- √ -- √ -- √ -- √ -- a = -√8--3---= √4---3--= -√4--3(2-−---3√)---= 8 3− 1 2. 2 3 + 4 3 + 2 ( 3+ 2)(2− 3)

Zatem pole kwadratu jest równe

√ -- 2 2 √ -- 2 √ -- √ -- (8 3− 12) = 4 (2 3 − 3) = 1 6(12− 12 3 + 9) = 4 8(7− 4 3).

Sposób II

Tym razem również zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość odcinka AG przez x .

PIC

Ponieważ ∡A = 60∘ , mamy

x 1 ----= cos6 0∘ = -- AD 2 AD = 2x .

Stosujemy teraz twierdzenie Pitagorasa do trójkąta AGD

2 2 2 a + x = (2x ) 3x 2 = a2 √ -- 3 x = -3-a.

Z drugiej strony 2x + a = AB = 4 , zatem

√ -- 3 2⋅ ---a + a = 4 ( 3√ -- ) 2---3 a 3 + 1 = 4 √ -- a(2 3 + 3) = 12 a = -√-12---- 2 3 + 3 √ -- a = --√-12-(2--3−√-3)---- (2 3 + 3 )(2 3− 3) √ -- √ -- a = 12-(2--3−--3) = 4(2 3− 3 ). 3

Pole wyliczamy jak w poprzednim sposobie.  
Odpowiedź: √ -- 48(7 − 4 3 ) cm 2

Wersja PDF