/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 4330397

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wykaż, że w trójkącie prostokątnym suma długości obu przyprostokątnych jest równa sumie długości średnic okręgów wpisanego i opisanego na tym trójkącie.

Rozwiązanie

Jeżeli przyprostokątne trójkąta to a i b , a przeciwprostokątna c , to mamy R = c2 , bo średnicą okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest dokładnie przeciwprostokątna.

Sposób I

PIC

Promień r okręgu wpisanego możemy wyliczyć ze wzoru na pole

1ab = P = 1-(a+ b+ c)r 2 2

Mamy zatem

ab r = ---------. a + b + c

Liczymy sumę średnic

2ab 2R + 2r = c + --------- = a + b + c ac+-bc-+-c2-+-2ab- ac-+-bc-+-a2 +-b2 +-2ab a + b + c = a + b + c = 2 c(a+-b-)+-(a-+-b)--= (a+--b)(c+--a+--b)= a + b. a + b + c a + b + c

Sposób II

PIC

Jeżeli połączymy środek O okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ABC z jego wierzchołkami, to odcinki te dzielą kąty trójkąta na połowy. Jeżeli dorysujemy jeszcze rzuty punktu O na boki trójkąta, to mamy trzy pary przystających trójkątów prostokątnych. Oznaczając odpowiednio ich boki, widać, że

2R = c = (a − r) + (b − r) ⇒ 2R + 2r = a+ b.
Wersja PDF