/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 4383441

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt O jest punktem wspólnym przekątnych. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe 5, a pole trójkąta CDO jest równe 4.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Kluczowa własność trapezu (którą warto zapamiętać) to, że trójkąty ABO i CDO są podobne (mają takie same kąty). W dodatku znamy ich skalę podobieństwa √√5- √5- k = 4 = 2 .

Jak obliczyć pole trójkąta AOD ? Zauważmy, że ma on taką samą wysokość opuszczoną z wierzchołka D jak trójkąt COD i na mocy wcześniejszej uwagi wiemy jaki jest stosunek ich podstaw. Zatem

√ -- PAOD AO 5 ------= ----= ---- PDOC OC √ 2- √ -- 5 5 √ -- PAOD = PDOC ⋅----= 4 ⋅----= 2 5. 2 2

Podobnie obliczamy

√ -- 5 √ -- PBOC = PDOC ⋅----= 2 5. 2

Pole trapezu jest więc równe

P = 4 + 5 + 2√ 5-+ 2√ 5-= 9+ 4√ 5. ABCD

 
Odpowiedź: √ -- 9 + 4 5

Wersja PDF