/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 4628949

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD punkt O jest punktem wspólnym przekątnych. Oblicz pole trapezu wiedząc, że pole trójkąta ABO jest równe t , a pole trójkąta CDO jest równe r .

Rozwiązanie

PIC

Kluczowa własność trapezu (którą warto zapamiętać) to, że trójkąty ABO i CDO są podobne (mają takie same kąty). W dodatku znamy ich skalę podobieństwa √√t- k = r .

Jak wyliczyć pole trójkąta AOD ? Zauważmy, że ma on taką samą wysokość opuszczoną z wierzchołka D jak trójkąt COD i na mocy wcześniejszej uwagi wiemy jaki jest stosunek ich podstaw. Zatem

√ - PAOD AO t ------ = ---- = √-- PDOC OC √ -r √ - t t √ -- PAOD = PDOC ⋅√-- = r ⋅√-- = tr. r r

Podobnie wyliczamy

√ -- PBOC = tr.

 
Odpowiedź: √ -- √ - √ - t+ r+ 2 tr = ( t+ r)2

Wersja PDF