/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 4787693

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny ABC o bokach długości |AB | = 8,|BC | = 6,|AC | = 10 jest styczny do boków AC i BC w punktach D i E . Proste DE i AB przecinają się punkcie F . Oblicz pole trójkąta EBF .

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Zacznijmy od wyliczenia promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC . Ze wzoru na pole z promieniem okręgu wpisanego mamy

a-+-b-+-c ⋅r = S = 1-⋅ab 2 2 ab 8⋅ 6 48 r = --------- = -----------= ---= 2. a + b + c 8+ 6+ 10 24

Zatem EC = BC − r = 4 .

Na narysowanym obrazku jest sporo trójkątów prostokątnych – w tym interesujący nas trójkąt EBF . Kluczowe do rozwiązania zadania jest zauważenie, że niektóre z nich są podobne. Rzeczywiście, jeżeli oznaczymy ∡BF E = α to

∡DEC = ∡BEF = 90∘ − α.

Stąd

∡SCE = 9 0∘ − ∡DEC = 9 0∘ − (9 0∘ − α) = α.

To oznacza, że trójkąty EBF i SEC są podobne. W obu z nich długość przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α jest równa 2, więc trójkąty te są przystające. Zatem BF = EC = 4 i interesujące nas pole jest równe

1 SEBF = --⋅2 ⋅4 = 4. 2

 
Odpowiedź: 4

Wersja PDF