/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 5933763

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawy trapezu mają długości a i b (a > b ). Suma miar kątów wewnętrznych przy dłuższej podstawie wynosi 90∘ . Oblicz długość odcinka łączącego środki podstaw trapezu.

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ suma kątów przy dłuższej podstawie jest równa ∘ 90 , każdy z tych kątów jest ostry, czyli możemy przedłużyć ramiona trapezu tak, aby przecięły się w pewnym punkcie E – rysunek.

PIC

Jeżeli poprowadzimy w otrzymanym trójkącie środkową EG , to dzieli ona odcinek CD na połowy (twierdzenie Talesa). W takim razie odcinek, który mamy wyliczyć, to różnica środkowych EG − EF = F G w trójkątach ABE i DCE .

Pozostało skorzystać z podanego warunku ∡A + ∡B = 90∘ , czyli ∡E = 90∘ . Ponieważ środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym to środek przeciwprostokątnej, to długość środkowej w trójkącie prostokątnym to połowa przeciwprostokątnej (bo jest to dokładnie promień okręgu opisanego). Mamy więc już wszystkie dane, aby wyliczyć szukaną długość odcinka F G :

FG = EG − EF = 1-AB − 1CD = a-−-b-. 2 2 2

Sposób II

Dorysujmy odcinki równoległe do szukanego odcinka, ale przechodzące przez wierzchołki krótszej podstawy.

PIC

Jeżeli narysujemy dwa powstałe trójkąty obok siebie (tak by miały wspólny bok CT ), to otrzymany trójkąt ABC jest prostokątny (bo ∡A + ∡B = 90∘ ). Ponadto jego przeciwprostokątna ma długośc równą różnicy między długościami podstaw trapezu, czyli AB = a− b . Ponieważ punkt S dzielił podstawę trapezu na połowy, to odpowiadający punkt T w trójkącie ABC jest środkiem boku AB . Pozostało, jak w poprzednim sposobie, zauważyć, że środkowa CT w trójkącie prostokątnym ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej, czyli CT = a−b- 2 .  
Odpowiedź: a−b- 2

Wersja PDF