/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 7491554

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W trójkącie prostokątnym ABC o kącie prostym w wierzchołku C obrano taki punkt P , że pola trójkątów PAB , PBC i PAC są równe. Oblicz długość odcinka PC , wiedząc, że |PA |2 + |PB |2 = m .

Rozwiązanie

Oczywiście najważniejszy jest rysunek.

PIC

Ponieważ trójkąty PAB , P BC i PAC mają równe pola, to pole każdego z nich to dokładnie 13 pola całego trójkąta. W takim razie, jeżeli K i L są rzutami punktu P na boki AC i BC , to

1- P K = 3BC 1 P L = -AC . 3

Aby nie mieć ułamków, oznaczmy BC = 3a i AC = 3b . Wtedy P K = a , BL = 2a , PL = b , AK = 2b . Z twierdzenia Pitagorasa mamy równości

2 2 2 P C = a + b PA 2 = a2 + 4b2 2 2 2 P B = b + 4a .

Dodając dwie ostatnie równości stronami mamy

m = PA 2 + PB 2 = 5(a2 + b2).

Stąd

∘ --- ∘ -2----2 m- P C = a + b = 5 .

 
Odpowiedź: ∘ -m- 5

Wersja PDF