/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 7702348

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W prostokącie ABCD wierzchołek D połączono odcinkami ze środkami E i F boków AB i BC , zaś M i N to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną AC .

  • Uzasadnij, że odcinki AM ,MN i NC są jednakowej długości.
  • Uzasadnij, że trójkąty AEM i CNF mają równe pola.
PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysujmy drugą przekątną prostokąta.

PIC
  • Ponieważ przekątne prostokąta dzielą się na połowy, odcinki DE i AS są środkowymi trójkąta ABD . Ponieważ środkowe dzielą się w stosunku 2:1 (licząc od wierzchołka), mamy
    AM = 2AS = 2AC = 1AC . 3 6 3

    Podobnie, patrząc na trójkąt DBC , uzasadniamy, że

    2 2 1 CN = --CS = -AC = --AC . 3 6 3

    Zatem każdy z odcinków AM ,MN i NC jest równy 1 3AC .

  • Trójkąty AEM i AED mają wspólną podstawę AE , a ich wysokości mają się jak
    ED-- = 3 : 1 EM

    (twierdzenie Talesa). Zatem

    1 1 1 PAEM = --PAED = --PABD = ---PABCD . 3 6 12

    Podobnie dla trójkąta CNF .

    P = 1-P = 1P = 1-P . CNF 3 CDF 6 CDB 12 ABCD

Sposób II

  • Tym razem nie będziemy nic dorysowywać (patrzymy na oryginalny rysunek). Trójkąty AEM i CDM mają równe kąty, są więc podobne. W dodatku skala ich podobieństwa to -AE = 1 DC 2 . Zatem
    1 1 AM = --MC ⇒ AM = --AC . 2 3

    Podobnie, patrząc na trójkąty podobne CNF i AND mamy

    CN = 1-NA ⇒ CN = 1AC , 2 3

    co kończy dowód.

  • Z opisanego wyżej podobieństwa, wystarczy wykazać, że trójkąty CDM i AND mają równe pola. Oba te trójkąty mają jednak równe podstawy CN = AM oraz wspólną wysokość, która jest na nie opuszczona.
Wersja PDF