/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 7950675

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przez środek D przyprostokątnej BC trójkąta prostokątnego ABC poprowadzono prostą prostopadłą do przeciwprostokątnej AB . Prosta ta przecina proste AB i AC odpowiednio w punktach M i N . Wykaż, że |MD-| |AC|2 |DN | = |AB|2 .

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że każdy z trójkątów DBM i DNC ma takie same kąty jak trójkąt ABC .

PIC

Trójkąty te są więc podobne. Z podobieństwa trójkątów ABC i DBM mamy

AC--= MD---, AB BD

a z podobieństwa trójkątów ABC i DNC mamy

AC--= DC--. AB DN

Mnożymy te równości stronami i korzystamy z tego, że punkt D jest środkiem boku BC.

2 AC---= MD---⋅ DC- = MD---. AB 2 BD DN DN
Wersja PDF