/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 8583428

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest prostokąt ABCD , w którym |AB | = 8 i |AD | = 6 . Na boku AB zbudowano trójkąt równoboczny ABM (patrz rysunek). Oblicz obwód trójkąta KLM .

PIC

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że kąty trójkąta równobocznego mają miarę ∘ 60 .

PIC

W takim razie

∘ ∘ ∘ ∡DAK = 90 − 60 = 30

i mamy

DK ∘ DA-- = tg3 0 √ -- -- DK--= --3- ⇒ DK = 2√ 3. 6 3

To z kolei oznacza, że

√ -- KL = DC − DK − LC = 8 − 2DK = 8 − 4 3

i obwód trójkąta równobocznego KLM jest równy

√ -- √ -- 3(8 − 4 3 ) = 24− 12 3.

Sposób II

Jeżeli nie chcemy korzystać z trygonometrii dorysujmy wysokość trójkąta ABM . Ponieważ AB = 8 mamy

√ -- 8 3 √ -- EM = -----= 4 3. 2

Zatem

-- FM = EM − EF = 4√ 3− 6 .

Jeżeli teraz oznaczymy KL = a to mamy równanie

√ -- √ -- a--3-= FM = 4 3 − 6 / ⋅ √2-- 2 3 12 √ -- a = 8 − √---= 8 − 4 3. 3

Zatem obwód trójkąta KLM jest równy

√ -- √ -- 3(8 − 4 3 ) = 24− 12 3.

 
Odpowiedź: √ -- 24 − 12 3

Wersja PDF