/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 8980675

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Przekątna BD rombu ABCD przecina jego wysokość CE , poprowadzoną na bok AB , w punkcie F . Oblicz pole rombu ABCD , jeśli wiadomo, że ---- |DE | = √ 31 3 oraz |CF|-= 13- |FE| 5 .

PIC

Rozwiązanie

Korzystając z podanego stosunku długości odcinków CF i FE możemy oznaczyć ich długości przez CF = 13x i FE = 5x . Jeżeli ponadto oznaczymy długość boku rombu przez 1 3a to z podobieństwa trójkątów DF C i BF E mamy

EB- CD-- F E = CF FE 5 EB = ---⋅CD = ---⋅1 3a = 5a. CF 13

Potrzebujemy teraz dwóch równań wiążących ze sobą a i x – otrzymamy je pisząc twierdzenia Pitagorasa w trójkątach DEC i CEB .

{ 2 2 2 DE = DC + CE CB 2 = CE 2 + EB 2 { 313 = 169a2 + 324x 2 2 2 2 169a = 324x + 25a

Odejmujemy od pierwszego równania drugie (żeby skrócić x 2 ) i mamy

2 2 2 313 − 1 69a = 169a − 2 5a 313 = 313a2.

Zatem a = 1 i z pierwszego równania mamy

2 3 24x = 31 3− 1 69 = 144 2 144- x = 324 12 2 x = ---= -. 18 3

Teraz bez trudu liczymy pole rombu

2 P = AB ⋅CE = 13a ⋅18x = 1 3⋅1 8⋅3-= 156.

 
Odpowiedź: 156

Wersja PDF