/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 9313459

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na rysunku przedstawiono dwa kwadraty: ABCD i DEF G , przy czym punkty E i G należą do odcinków AD i CD odpowiednio. Przedstawiono również okrąg, który jest styczny do dwóch boków kwadratu ABCD i przechodzi przez punkt F . Wykaż, że jeżeli |CG | = 2 |GD | = 4 , to promień okręgu jest równy √ -- 8 − 4 2 .

PIC

Rozwiązanie

Niech S będzie środkiem danego okręgu, a K punktem jego styczności z odcinkiem AB .

PIC

Sposób I

Jeżeli L jest punktem styczności okręgu z bokiem BC , to KBLS jest kwadratem o boku r , więc

√ -- BS = r 2.

Stąd

√ -- √ -- √ -- 6 2 = BD = BS + SF + FD = r 2 + r + 2 2 √ -- √ -- √ -- r( 2+ 1) = 4 2√ --/ : ( √2-+√1) 4 2 4 2( 2 − 1) √ -- r = √-------= --------------= 8− 4 2. 2 + 1 2 − 1

Sposób II

Tym razem, niech K i N będą rzutami punktu S na odcinki AB i CD odpowiednio, oraz M niech będzie rzutem punktu F na prostą KN .

Trójkąt prostokątny FSM jest równoramienny (jest to połówka kwadratu) oraz

MS = KN − KS − MN = 6 − r − 2 = 4 − r.

Mamy zatem

√ -- √ -- √ -- √ -- r = F S = MS 2 = (4 − r) 2 = 4 2− r 2 √ -- √ -- r√ +-r 2 = 4 √ 2- r( 2 + 1) = 4 2 √ -- √ --√ -- -4--2--- 4---2(--2−--1) √ -- r = √ 2+ 1 = 2− 1 = 8 − 4 2.
Wersja PDF