/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 9582770

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ramiona kąta ostrego o mierze 2x przecięto prostą k prostopadłą do dwusiecznej kąta, która jest odległa o d od jego wierzchołka. W ten kąt wpisano dwa okręgi, każdy styczny do obu ramion kąta i prostej k . Oblicz odległość środków tych okręgów.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Ponieważ okręgi te są styczne zewnętrznie (bo oba są styczne do prostej k w punkcie leżącym na dwusiecznej danego kąta) to odległość ich środków jest równa sumie r + r 1 2 ich promieni. Z trójkątów ABO 1 i ACO 2 mamy

BO 1 r1 CO 2 r2 sin x = -----= ------ sin x = ----- = ------ AO 1 d− r1 AO 2 d+ r2 d sin x − r1sin x = r1 d sin x + r2sin x = r2 dsin x dsinx r1 = --------- r2 = ---------. 1+ sin x 1 − sin x

Stąd

d sinx d sin x r1 + r2 = ---------+ ---------= 1( + sinx 1 − sinx ) = d sinx ------1-−-sinx--------+ ------1-+-sin-x------- = (1− sin x)(1 + sin x) (1 − sinx )(1+ sin x) 2 2dsin x = d sinx ⋅---------- = -------. 1 − sin2 x co s2x

 
Odpowiedź: 2dsinx cos2x

Wersja PDF