/Konkursy/Zadania/Geometria

Zadanie nr 9930402

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Punkt M jest punktem wspólnym przekątnych trapezu prostokątnego ABCD . Punkt N jest punktem wspólnym przekątnej BD i wysokości CE opuszczonej na dłuższą podstawę AB . Wykaż, że |DM |2 = |MN |⋅|MB | .

PIC

Rozwiązanie

Zauważmy, że mamy dwie pary podobnych trójkątów AMD i CMN , oraz ABM i CDM (podobieństwo wynika z równości zaznaczonych kątów).

PIC

Z pierwszego podobieństwa mamy

DM---= MA--, MN MC

a z drugiego

DM MC -----= ----. MB MA

Mnożąc te dwie równości stronami mamy

DM 2 MA MC ----------= -----⋅-----= 1. MN ⋅ MB MC MA

Zatem rzeczywiście

2 DM = MN ⋅MB .
Wersja PDF