/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 1069921

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Okrąg przecina boki czworokąta ABCD kolejno w punktach A 1,A 2,B1,B2,C 1,C2,D 1,D 2 (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że jeżeli |A 1A2| = |B1B 2| = |C 1C2| = |D 1D 2| , to w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Rozwiązanie

Sposób I

Niech r będzie promieniem danego okręgu i

A A = B B = C C = D D = 2x . 1 2 1 2 1 2 1 2

Oznaczmy ponadto przez A 3,B3,C 3,D 3 rzuty środka okręgu na kolejne boki czworokąta.

PIC

Zauważmy, że cztery trójkąty równoramienne

A1SA 2, B1SB 2, C1SC 2, D 1SD 2

są przystające (bo mają boki równej długości), więc

SA = SB = SC = SD . 3 3 3 3

To z kolei oznacza, że okrąg o środku S i promieniu SA 3 jest styczny do wszystkich boków czworokąta.

Sposób II

Popatrzmy na proste D1C 2 i D 2C1 . Odcinają one od danego okręgu łuki D1D 2 i C C 1 2 , które są tej samej długości. Proste te są więc równoległe i czworokąt D 1D 2C1C 2 jest trapezem równoramiennym. W szczególności

∡DD 1C2 = ∡DD 2C1 = ∡DC 1D 2 = ∡DC 2D 1,

czyli trójkąt DD 1C2 jest równoramienny. Zatem DD 1 = DC 2 .

Analogicznie uzasadniamy, że każdy z czworokątów C1C 2B1B 2 , B 1B2A 1A 2 i A1A 2D 1D 2 jest trapezem równoramiennym i CC 1 = CB 2 , BB = BA 1 2 , AA = AD 1 2 . Stąd

AB + CD = AA 1 + A 1A 2 + BA 2 + DC 2 + C1C 2 + CC 1 = = AD 2 + D 1D 2 + DD 1 + BB 1 + B1B 2 + CB 2 = AD + BC .

To oczywiście oznacza, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg.

Wersja PDF