Zadanie nr 1503800

Punkt jest środkiem boku prostokąta ABCD , w którym AB > BC . Punkt leży na boku tego prostokąta oraz ∡AEF = 90 . Udowodnij, że ∡BAE = ∡EAF .

Rozwiązanie

Sposób I

Niech AB = a i BE = EC = b .

Zauważmy, że oba trójkąty ABE i AEF są prostokątne, więc jest dość łatwo obliczyć np. tangensy interesujących nas kątów. Z pierwszego z tych trójkątów mamy

BE b tg ∡BAE = ----= -. AB a

Zanim obliczymy tangens drugiego z interesujących nas kątów, zauważmy, że trójkąty prostokątne ABE i ECF mają równe kąty ostre (bo ∡F EC = 90∘ − ∡BEA = ∡BAE ), więc są podobne. W takim razie

F-E-= AE-- ⇒ FE = AE ⋅ b. CE AB a

W takim razie

FE AE ⋅ ba b tg EAF = ----= -------= --= tg ∡BAE . AE AE a

To oznacza, że rzeczywiście ∡EAF = ∡BAE .

Sposób II

Tak jak w poprzednim sposobie oznaczmy AB = a i BE = EC = b . Trójkąty ABE i ECF są prostokątne i mają równe kąty ostre

∡F EC = 90∘ − ∡BEA = ∡BAE ,

więc są podobne. Stąd

AB-- = CE-- ⇒ AE--= AB--= a-= AB-. AE F E F E CE b BE

Otrzymana równość oznacza, że przyprostokątne w trójkątach prostokątnych ABE i AEF są proporcjonalne, więc trójkąty te są podobne i ∡BAE = ∡EAF

Sposób III

Przedłużmy odcinek F E do jego punktu przecięcia a przedłużeniem odcinka . Zauważmy, że trójkąty EF C i EGB są oba prostokątne i mają wspólny kąt wierzchołkowy, więc są podobne. Ponadto CE = BE , więc trójkąty te są przystające. W szczególności EF = EG , co z kolei oznacza, że prosta jest jednocześnie wysokością i symetralną boku w trójkącie AGF . Jest to więc oś symetrii tego trójkąta, co oznacza, że trójkąt ten jest równoramienny. Prosta jest więc również dwusieczną kąta ∡FAB , skąd ∡BAE = ∡EAF .

Sposób IV

Tym razem przedłużmy odcinek do jego punktu przecięcia z przedłużeniem odcinka .

Zauważmy, że trójkąty ABE i KCE oba są prostokątne i mają równe kąty ostre: ∡BAE = ∡CKE . Ponadto BE = CE , więc trójkąty te są przystające. W szczególności AE = KE , co z kolei oznacza, że prosta jest jednocześnie wysokością i symetralną boku w trójkącie AKF . Jest to więc oś symetrii tego trójkąta, co oznacza, że trójkąt ten jest równoramienny. W takim razie