/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 1561420

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu r . Na przedłużeniu cięciwy AB poza punkt B odłożono odcinek BC równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty C i S poprowadzono prostą. Prosta CS przecina dany okrąg w punktach D i E (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta ACS jest równa α , to miara kąta ASD jest równa 3α .

PIC

Rozwiązanie

Z założenia trójkąt SBC jest równoramienny, więc

∡BSC = α ∡SBC = 180∘ − 2α.

Trójkąt ASB również jest równoramienny, więc

∡SAB = ∡SBA = 180∘ − (18 0∘ − 2 α) = 2α.

Stąd

∡ASD = 180∘ − ∡ASB − ∡BSC = 18 0∘ − (180∘ − 4α) − α = 3 α.
Wersja PDF