/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 2360976

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Czworokąt ABCD jest trapezem prostokątnym, w którym AB ∥ CD . Wykaż że

|AC |2 + |BD |2 = |AD |2 + |BC |2 + 2|AB |⋅|DC |.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Przy oznaczeniach z rysunku, korzystając z twierdzeń Pitagorasa w trójkątach ABD ,AEC i EBC mamy

BD 2 = AB 2 + AD 2 2 2 2 2 2 2 AC = AE + EC = AE + BC − EB .

Stąd

2 2 2 2 2 2 2 AC + BD = AD + BC + b + a − (b− a) = AD 2 + BC 2 + 2ab = AD 2 + BC 2 + 2AB ⋅CD .
Wersja PDF