/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 3067625

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwa okręgi są zewnętrznie styczne w punkcie C oraz są styczne do prostej k w punktach A i B odpowiednio (zobacz rysunek).

PIC

Uzasadnij, że trójkąt ABC jest prostokątny.

Rozwiązanie

Połączmy środki okręgów z punktami styczności.

PIC

Zauważmy, że

∡AO 1C + ∡BO 2C = 180 ∘.

Tak jest, bo punkty O 1,O 2 i C leżą na jednej prostej, oraz odcinki O 1A i O 2B są do siebie równoległe (bo oba są prostopadłe do prostej AB )

Sposób I

Jeżeli oznaczymy kąty α i β jak na rysunku, to powyższą równość możemy zapisać jako

180∘ − 2α + 180 ∘ − 2 β = 180 ∘ ⇒ α+ β = 90 ∘.

Z drugiej strony,

∘ ∘ ∡ACB = 180 − α − β = 90 .

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia o stycznej.

PIC

Jeżeli oznaczymy ∡CAB = α i ∡CBA = β , to na mocy twierdzenia o stycznej,

∡AO 1C = 2∡AEC = ∡CAB = α ∡BO 2C = 2∡BF C = ∡CBA = β.

Stąd

2α + 2β = ∡AO 1C + ∡BO 2C = 180∘,

czyli α + β = 90∘ . To oczywiście oznacza, że trójkąt ACB jest prostokątny.

Wersja PDF