/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 6918455

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ramiona kąta o mierze ∘ 60 przecięto prostą k prostopadłą do jednego z ramion kąta i wpisano dwa koła styczne do obu ramion tego kąta i prostej k . Oblicz stosunek pól tych kół.

Rozwiązanie

Zaczynijmy od rysunku i oznaczmy AO 1 = x .

PIC

Pomysł na rozwiązanie zadania jest następujący. Musimy jakoś wykorzystać fakt, że okręgi są jednocześnie styczne do ramion kąta i do prostej k . Własności te pozwolą nam na dwa sposoby wyliczyć długość odcinka x w zależności od r1 i r2 , to da nam szukaną zależność między r1 i r2 .

Po pierwsze, z trójkąta AO 1B mamy

BO-1-= sin 30∘ ⇒ x = 2r1. AO 1

Podobnie uzasadniamy, że AO 2 = 2r2 .

Drugi sposób wyliczenia x to równość

x = AO 1 = AO 2 − O 1O 2 = 2r2 − O 1D − DO 2

Długości odcinków O 1D i DO 2 wyliczamy następująco. Z trójkąta DEO 2 mamy

√ -- √ -- r2 3 2 3r2 -----= cos30 ∘ = ---- ⇒ DO 2 = ------. DO 2 2 3

Podobnie

√ -- O 1D = 2---3r1. 3

Mamy zatem

√ -- √ -- 2r1 = x = 2r2 − 2--3r-2− 2--3r1- / ⋅ 3- √ -- 3√ -- 3 2 3r1 = 3r2 − 3r2 − 3r1 √ -- √ -- r1(3 + 3 ) = r2(3− 3) √ -- √ --2 √ -- √ -- r1 = 3-−-√-3-= (3-−---3)--= 12-−-6--3-= 2− 3. r2 3 + 3 9− 3 6

Oczywiście stosunek pól jest równy kwadratowi stosunku promieni, czyli -- (2 − √ 3)2 .  
Odpowiedź: √ --2 (2 − 3)

Wersja PDF