/Konkursy/Zadania/Geometria/Planimetria

Zadanie nr 7187004

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na bokach AB , BC i CA trójkąta ABC wybrano odpowiednio punkty D ,E i F . Wykaż, że okręgi opisane na trójkątach ADF , BED i CF E przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Jeżeli P jest punktem wspólnym okręgów opisanych na trójkątach ADF i BDE , to wystarczy udowodnić, że na czworokącie CF PE można opisać okrąg. Niech ∡DAF = α i ∡DBE = β . Czworokąt ADP F jest wpisany w okrąg, więc

∘ ∘ ∡DP F = 180 − ∡DAF = 180 − α.

Analogicznie, w czworokącie BDP E ,

∘ ∘ ∡DP E = 180 − ∡DBE = 180 − β.

W takim razie

∘ ∘ ∘ ∘ ∡F PE = 360 − ∡DP F − ∡DP E = 360 − (180 − α) − (180 − β) = α + β .

Stąd

∡F P E + ∡F CE = α+ β+ 180∘ − (α + β) = 180∘,

czyli na czworokącie F PEC można okrąg. To oznacza, że punkt P leży na okręgu opisanym na trójkącie CF E .

Wersja PDF